Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обработка изображений / Лекции по обработке изображений Ч 1

.pdf

Скачиваний:

161

Добавлен:

25.04.2015

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Фурье:

h(t)

H ( )exp(i t)d ,

(2.22)

H (i ) h(t)exp( i t)dt .

(2.23)

Запишем рядом выражения (2.13) и (2.18)

p(x, z)

g(u)exp(iz

k 2 u2 )exp(iux)du ,

y(t)

Cx ( )H (i )exp(i t)d .

Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что функция

H u exp iz

k 2 u 2

(2.24)

является аналогом функции

H –

частотной характеристики

линейной

системы. Тогда задачу о преобразовании поля свободным пространством можно представить в виде блок-схемы линейной системы, изображенной на рис.2.2.

p(x,0)	H (u)	p(x, z)
	H (u)
Вход	h(x)	Выход

Рис.2.2. Блок-схема линейной системы

Двумерной частотной характеристикой свободного пространства

является функция		exp iz				.
H u , u
H u , u	2		k 2 u 2	u	2		(2.25)
1	2		1		2

Вычислим импульсную характеристику свободного пространства, осуществляя обратное преобразование Фурье от обеих частей выражения

(2.25):

h x, y	1
					2		2 ) exp[i(u1 x + u2 y)]du1 du2 .
			exp(iz	k 2 u1		u2		(2.26)
	4	2

Дифференцируя по z выражение (2.17) и сравнивая его с выражением (2.26), получаем

	1		e	i kR
h(x, y)

	2		R
		z

1		exp ikR	R	1	exp ikR		R .
	ik							( 2.27)

2		R z		2	R	2	z

2.3. Решение дифракционных задач. Приближение Кирхгофа

Практически наиболее часто встречаются дифракционные задачи, которые формулируются следующим образом. В поле волны (обычно

плоской или сферической) помещено некоторое препятствие, геометрические параметры которого (форма, размеры и т.д.) и электрические свойства материала (поглощающий, прозрачный с определенным показателем преломления и т.д.) известны. Требуется определить поле, которое получится на большом расстоянии (по сравнению с длиной волны) от этого препятствия.

В качестве примера две типичные дифракционные задачи изображены на рис. 2.3. На рис. 2.3,а показан непрозрачный экран с отверстием, на который падает плоская волна. Требуется определить поле в пространстве за экраном в зависимости от расстояния до него, формы и величины отверстия. На рис. 2.3,б изображено некоторое прозрачное тело, отличающееся от окружающей среды показателем преломления. Требуется определить поле, которое будет в пространстве, если это тело внесено в поле первоначально плоской волны.

а)

б)

Рис. 2.3. Примеры дифракционных задач

При решении дифракционных задач пользуются приближениями Кирхгофа, которые состоят в том, что поле на препятствии считается равным нулю, а вне препятствия – таким же, как и в отсутствии препятствия вообще. Пользуясь таким условием, можно легко находить поля в плоскостях различных экранов, щелей, решеток и других аналогичных препятствий. Если изучается дифракция на структуре, изменяющей не амплитуду, а фазу волны, как на рис. 2.3,б, то изменение фазы внутри структуры находится интегрированием фазового набега внутри фазового экрана вдоль траекторий лучей, рассчитанных по законам геометрической оптики. Применение вышеизложенных соображений для решения дифракционных задач производится следующим образом. На возможно близком расстоянии к препятствию со стороны прошедшей волны проводится плоскость. На этой плоскости, пользуясь приближениями Кирхгофа, находится поле волны, искаженное препятствием. Эта плоскость затем принимается за плоскость z 0 . Далее, воспользовавшись выражением (2.13), можно решить

дифракционную задачу, т.е. найти поле при любом z . Полученное решение оказывается приближенным, несмотря на то, что формула (2.13) является вполне строгой и точной. Приближение состоит в замене реального поля в плоскости z 0 его приближенным выражением по правилу Кирхгофа.

Приближение Кирхгофа является весьма грубым. Оно должно описывать волновое поле, которое обязано удовлетворять волновому уравнению. Поле, получающееся согласно простому правилу Кирхгофа, волновому уравнению не удовлетворяет и, следовательно, не может соответствовать реальному волновому полю. Однако для полей на достаточно большом расстоянии от препятствия получающиеся результаты всегда находятся в удовлетворительном согласии с экспериментом. Строгие решения дифракционных задач совпадают с решениями, полученными в приближение Кирхгофа в случае больших расстояний. Естественно поставить вопрос, почему заведомо неправильные предпосылки приводят в данном случае к правильным результатам. Прежде чем ответить на этот вопрос, попробуем представить себе, в чем состоит основная проблема, и что дает соотношение (2.13). Ясно, что это соотношение позволяет точно найти поле при любом z по известному полю при каком-либо значении z . Наличие простого и точного соотношения (2.13) делает для нас все сечения поля равноправными – из них никакое не хуже и не лучше другого. Поэтому нахождение точного значения поля сразу за препятствием нисколько не проще нахождения точного значения на сколь угодно большом расстоянии от него.

В то же время на вопрос о том, каково же поле в каком-либо сечении, соотношение (2.13) никакого ответа не дает. Таким образом, проблема заключается не в нахождении поля в зависимости от расстояния z , а в нахождении правильного значения поля на каком-то произвольном расстоянии (совсем не обязательно сразу за препятствием).

Точно решить такую задачу очень трудно. Однако грубое приближение Кирхгофа все же дает в соединении с процедурой нахождения полей в зависимости от расстояния по формуле (2.13) приближенно правильный результат. Это объясняется, как будет показано ниже, фильтрующим свойством преобразования (2.13). «Фильтр», действующий по формуле (2.13), пропускает не все пространственные частоты, а только частоты, попадающие в некоторую узкую полосу. Это свойство проявляется тем сильнее, чем большее расстояние проходит волна после препятствия (фильтр получается с более крутым фронтом при увеличении расстояния z ). С помощью приближения Кирхгофа задаются значения полей на входе фильтра, а по формуле (2.13) вычисляются значения на его выходе. При этом оказывается, что существенные отличия приближения Кирхгофа от истинных значений полей приходятся на ту область пространственных частот, которую фильтр не пропускает. Этим объясняется регуляризирующее действие процедуры нахождения поля на большом расстоянии z . Таким образом, имеют место два эффекта: во-первых, отсекаются те частоты в исходном поле, где оно явно не соответствует действительности, и, во-вторых, в той

области частот, где приближение оказывается приемлемым, происходит преобразование поля в соответствии со значением расстояния z .

2.4. Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера

Пусть пространственный период наименьших неоднородностей на препятствии (в плоскости z 0 ), освещаемого плоской монохроматической волной света, намного превосходит длину волны света. В этом случае

выполняется условие u				2		u 2		k 2 . Разлагая											k 2 u 2						u 2	в ряд Тейлора,
			1			2																		1	2
получаем
											2				2				2				2	2
											2				2				2				2	2
	k 2	u 2 u			2 k			1	1	u1		u2					u1			u2					....	.	(2.28)
	k 2	u 2 u			2 k			1																	....	.	(2.28)
		1		2					2			k	2							8k	4
									2			k								8k

Ограничиваясь		двумя		первыми членами												ряда				при				выполнении			условия
							z(u	2 u 2 )2				8k 3			,												(2.29)
						1			2
получаем следующее							выражение							для					частотной							характеристики
(приближение Френеля):
															iz				2				2
		H u	, u			exp ikz exp											u			u				.			(2.30)
		H u	, u			exp ikz exp											u			u				.			(2.30)
		1			2										2k			1				2
															2k

Осуществляя обратное преобразование Фурье от функции H u1,u2 , находим

импульсную характеристику свободного пространства в приближении Френеля:

exp ikz

h x, y

exp

(2.31)

i z

Если известна комплексная амплитуда поля в плоскости z 0 ,

т.е. функция

p x, y,0 , то поле

p x, y, z в плоскости z

в приближении Френеля, исходя из

выражения (2.34), можно записать в виде

exp ikz

p(x, y, z)

exp

i z

(2.32)

p(x , y ,0)exp

exp

dx dy

Таким образом, с точностью до амплитудно-фазового множителя, функцию

	ik		2	y	2
p(x, y, z) можно найти как фурье-образ функции	p(x, y,0) exp	(x				)	на

	2z
частотах f x x z , f y y z . Частоты f x и f y	связаны с частотами ( u1 ,u2 )

через соотношения u1 2 f x , u2 2 f y .

При достаточно больших z условие (2.29) не выполняется. Рассмотрим выражение для импульсной характеристики свободного пространства (2.27)

при выполнении следующих условий:

k >> 1/R, R ;

z r,

x2 y 2

z 2

В этом случае вторым слагаемым в (2.27) можно пренебречь. Тогда

h(x, y) =

1 exp(ikR)

(2.33)

а выражение для поля можно записать в виде

p x, y, z

p(x1 , y1 ,0)exp(ikR)/R dx1 dy1 ,

(2.34)

где

(x x )2 ( y y )2

z2 .

Такое

приближение

называется

приближением Гюйгенса-Френеля. Таким образом, поле в приближении Гюйгенса – Френеля может быть представлено в виде суперпозиции сферических волн, излучаемых точечными источниками света, расположенными в плоскости z=0. Амплитуды и фазы волн определяются входным распределением p x, y,0 .

Вычислим частотную характеристику свободного пространства в приближении Гюйгенса – Френеля. Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (2.28) и используя формулу разложения сферической волны по плоским волнам, получаем:

	u1 ,u2			1	exp(ikR)/R exp[ i(u1 x u2 y)]dxdy
H				1
H				i
				i
	1
	1		dv1dv2		exp(iz k 2 v12 v22 )/	k 2 v12 v22
		2	dv1dv2		exp(iz k 2 v12 v22 )/	k 2 v12 v22
		2

exp[i[(v1 u1 )x (v2 u2 ) y]]dxdy =

		4	2		exp (iz								(u
		4				k 2	v2	v2 )/		k 2 v2		v2			v ,u		v )dv dv		=
		2				k 2	v2	v2 )/		k 2 v2		v2			v ,u		v )dv dv		=
		2					1	2			1	2		1		1 2	2 1	2
							1	2			1	2		1		1 2	2 1	2
					k exp(iz			k 2 u2	u2 )/			k 2 u2		u2 .					(2.35)
								1	2			1			2
При	u2	u2		k 2 , (2.35)			совпадает с точным выражением для частотной
	1		2

характеристики свободного пространства. В приближении Гюйгенса-

Френеля выполняется условие

x2 y2 z2 .

Разлагая

z2 x2 y2

в ряд

Тейлора, получаем

kz 1

.... .

z 2

x 2 y 2

(2.36)

Ограничиваясь

двумя

первыми членами

ряда

при выполнении условия

z(x2

y 2 )2

8k 3

(2.37)

получаем

следующее

выражение

для

импульсной характеристики

(приближение Гюйгенса-Френеля)

exp ikz

h x, y

exp

(2.38)

i z

Выражение

(2.38)

совпадает с

выражением

(2.31),

значит и частотная

характеристика свободного пространства и при больших z имеет вид (2.30). Расчет дифракционной картины становится еще проще, если принять

условие Фраунгофера:

z k x2

y 2 2 .

(2.39)

В области дифракции Фраунгофера

exp ikz

p x, y, z

exp

i z

(2.37)

p x , y ,0 exp

dx dy

С точностью до множителей, стоящих перед интегралом, это выражение представляет собой фурье-образ распределения комплексных амплитуд поля

в плоскости z 0 , вычисленный на частотах u1					2 x z , u2 2 y z .
Отметим также, что физические приборы регистрируют не
комплексную		амплитуду		p x, y, z ,	а	интенсивность	света
I x, y, z	p x, y, z		2 , т.е. в	случае, например,		дифракции Фраунгофера

регистрируемой величиной является спектр Фурье:

	I x, y, z	1

		2 z 2
		2 z 2

	2
p x , y ,0 exp i		xx
p x , y ,0 exp i	z	xx
	z

yy dx dy . (2.38)

Ниже (рис. 2.4 – 2.8) приводятся примеры дифракционных картин Френеля и Фраунгофера от некоторых тестовых структур.

Рис. 2.4. Квадратное отверстие и дифракционная картина Фраунгофера

Рис. 2.5. Дифракционные картины Френеля от круглого отверстия

Рис. 2.6. Дифракционная картина Френеля (слева) и дифракционная картина Фраунгофера от круглого отверстия

Рис. 2.7. Синусоидальная картина и дифракционная картина Фраунгофера

Рис. 2.8. Два круглых отверстия и дифракционная картина Фраунгофера

3. Линзы как элементы, выполняющие преобразование Фурье

Наиболее важными компонентами систем, формирующих дифракционные картины и изображения, являются линзы. В данном разделе мы рассмотрим модуляционные характеристики оптических элементов, определим условия формирования фурье-образа транспаранта, на котором записано изображение, рассмотрим устройство когерентного спектроанализатора изображений.

3.1.Модуляционные характеристики оптических элементов

Оптическая система представляет собой набор последовательно расположенных друг за другом оптических элементов – транспарантов, линз, решеток и т.д. Эти элементы мы будем представлять в виде тонких экранов, модулирующих световой поток в каждой точке экрана. Модуляционную характеристику экрана (функцию пропускания) t x, y определим как

отношение распределения комплексных амплитуд световой волны непосредственно за экраном p x, y к распределению комплексных амплитуд

непосредственно перед экраном p0 x, y , т.е.

t x, y p x, y p0 x, y

Если для ввода изображений в когерентную систему обработки используются фотоматериалы, на которых записывается обрабатываемое изображение, то такой транспарант модулирует световую волну по амплитуде. Прозрачные материалы (стекло, объекты в микроскопии)

модулируют световую волну в основном по фазе ( t x, y ei ( x, y) ). Определим

модуляционную характеристику тонкой линзы. Рассмотрим идеальную оптическую систему, формирующую изображение (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Определение модуляционной характеристики тонкой линзы

В идеальной оптической системе без аберраций каждой точке x входной плоскости соответствует одна и только одна точка выходной плоскости. В

соответствии с принципом Ферма длина оптического пути от точки x до точки для всех направлений распространения света одинакова. Так как

геометрические пути различны, выравнивание оптических путей происходит в линзе. Разность геометрического пути для двух направлений: через центр линзы и через задний фокус равна



r (r r ) (R r ) R2								x2	y 2
	1	2			0	3	0	1	1

R2	2	2	R	0		R2	(x )2		( y	)2 .	(3.1)
1				0		1	1		1

Если рассматриваются лучи вблизи оптической оси (параксиальное приближение), то можно значительно упростить выражение для r . В этом случае

r	x 2	y 2	2	2	(x )2	( y )2
	1	1			1	1	.	(3.2)
	2R0		2R1		2R1		.	(3.2)
	2R0		2R1		2R1

Значение r , кроме уравнения 3.2, определяется уравнением геометрической оптики:

		1			1			1	,				(3.3)
									,				(3.3)
			f		R0			R1
где f – фокусное расстояние				линзы,				а также				увеличением	оптической
системы M R1	R	. При этом
	0
			R1			, y1				R1		.	(3.4)
		x1				, y1					R0	.	(3.4)
				R0							R0
Подставляя (3.3) и (3.4) в (3.2), получаем
		r				(x 2 y 2 )
						1		1		.
							2 f			.
							2 f

Тогда для собирающей (положительной) линзы функция пропускания имеет вид

		2	2	)
tл	(x, y) exp i	k(x1 y1			,	(3.5)

		2 f
где f - фокусное расстояние линзы,		k 2	-волновое число,			-длина

волны света. Если на линзу «падает» плоская монохроматическая волна, то

линза превращает ее в сходящуюся в фокусе линзы сферическую волну. Пусть плоская волна единичной амплитуды «освещает» плоский

объект с функцией пропускания t(x, y) . Линза осуществляет фазовое преобразование вида exp[ ik x2 y2 2 f ]. Тогда, если объект находится

непосредственно перед линзой, то за линзой распределение поля описывается выражением

t x, y exp[ ik x2 y2 2 f ].

Используя приближение Френеля для нахождения комплексной амплитуды

поля P x, y, f

в фокальной плоскости линзы, получаем:

exp ik x

2 f

i2 xx yy

P x, y, f

t x , y

exp

dx dy . (3.6)

i f

Распределение поля в фокальной плоскости тонкой линзы пропорционально двумерному фурье-образу от коэффициента пропускания объекта на частотах

u1 2 x f ,u2 2 y

f . Интенсивность света в фокальной

i2 xx yy

I x, y, f

t x , y exp

dx dy

(3.7)

Пусть теперь объект помещен на

расстояние a перед линзой. В

приближении Френеля спектр

F0 u1 ,u2

поля,

пропущенного объектом, и

спектр Fa u1 ,u2

поля, падающего на линзу, связаны выражением:

u , u

exp ika exp ia u 2

u 2

2k .

(3.8)

Перепишем выражение (3.6) в виде

P x, y, f

exp ik x 2

y 2

2 f

(3.9)

i f

Подставим

(3.8)

выражение

(3.9),

учитывая,

что

u1 2 x f ,u2 2 y

f , получим:

P x, y, f exp ika

exp[ik 2 f (1 a f ) (x2 y2 )]

i f

(3.10)

i2 xx

t x , y exp

dx dy

Если a f , то распределение комплексных амплитуд света в фокальной

плоскости линзы точно совпадает с преобразованием Фурье от коэффициента пропускания объекта. Принципиальная схема анализатора с параллельным пучком света изображена на рис. 3.2. Объектив Л1 формирует параллельный пучок лучей, идущих от источника света, направляет их на транспарант с изображением, а объектив Л2 собирает лучи в выходной (фокальной) плоскости, где наблюдается поле P x, y, f .

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Обработка изображений

#
25.04.20151.6 Mб137Л.Р. по обработке изображений Ч. 1.pdf
#
25.04.20152.67 Mб156Л.Р. по обработке изображений Ч. 2.pdf
#
25.04.20151.73 Mб161Лекции по обработке изображений Ч 1.pdf
#
25.04.20156.34 Mб275Лекции по обработке изображений Ч 2.pdf