Обработка изображений / Лекции по обработке изображений Ч 1

Таким образом, изображение можно представить как свертку идеального изображения и импульсного отклика, который определяется входным (выходным) зрачком системы. Вычислим передаточную функцию оптической системы формирующей изображение при когерентном освещении. Определим передаточную функцию как фурье-образ пространственно – инвариантного импульсного отклика:

Хотя соотношение (4.14) определяет H ( fx , f y ) как Фурье-образ функции h , эта последняя функция сама определяется преобразованием Фурье (4.13).

Последнее равенство означает, что в частотной области дифракционно ограниченная система имеет конечную полосу пропускания (т.к. функция зрачка P всегда равна или единице или нулю), внутри которой все частотные составляющие пропускаются без искажения амплитуды и фазы. Это утверждение справедливо только для оптической системы без аберраций. Аберрации вносят искажения внутри полосы пропускания. В дальнейшем определим P в отраженной системе координат, тогда

4.2. Аберрации и их влияние на частотный отклик

Рассмотрим влияние аберраций, или отклонений волнового фронта в выходном зрачке от сферической формы. Аберрации могут быть обусловлены различными причинами, начиная от самых простых, как, например, ошибка фокусировки, и кончая довольно сложными, связанными со свойствами самих идеально сферических линз. Вначале остановимся на самых простых эффектах.

Если оптическая система является дифракционно ограниченной, то импульсный отклик при когерентном освещении представляет собой Фурьеобраз от выходного отверстии с центром в точке идеального изображения. В случае искажения волнового фронта, например, за счет аберраций, можно представить, что выходной зрачок освещается идеальной сферической волной, но в пределах отверстия находится фазовая пластинка, деформирующая выходящий из зрачка фронт волны.

Если фазовая ошибка в точке (x,y) выходного зрачка имеет вид kW(x, y) , где k 2 / , а W – эффективная погрешность длины пути, то

комплексный коэффициент пропускания воображаемой фазовой пластинки можно представить в виде:

31

зрачка. Импульсный отклик когерентной системы с аберрациями представляет собой Фурье-образ от комплексной функции пропускания

P (x, y) .

При рассмотрении дифракционно ограниченной когерентной системы передаточная функция была определена с учетом того, что, во-первых, импульсный отклик соответствует Фурье-образу зрачка, и, во-вторых, когерентная передаточная функция является Фурье-образом импульсного отклика. Как следствие соотношений между двумя преобразованиями Фурье было найдено, что передаточная функция пропорциональна функции зрачка P . Подобными рассуждениями можно воспользоваться и при наличии аберраций, если заменить функцию P на обобщенную функцию зрачка P . В таком случае передаточная функция при когерентном освещении запишется следующим образом:

Очевидно, что при когерентном освещении ограничение полосы пропускания передаточной функции, которое обусловлено конечным размером выходного зрачка, не зависит от наличия аберраций. Аберрации вводят только фазовые искажения в пределах полосы пропускания. Разумеется, фазовые искажения могут оказать некоторое влияние на точность воспроизведения.

Рассмотрим конкретные виды аберраций. Одной из самых простых аберраций, является ошибка фокусировки. Условие, при котором предмет находится в фокусе, определяется формулой линзы. Если плоскость изображения не совпадает с фокальной плоскостью, то справедливо более

Для дальнейшего рассмотрения аберраций произведем разложение функции W (x, y) в ряд. Учитывая круговую симметрию задачи можно

показать, что в разложении W в ряд по степеням обеих координат нечетные степени будут отсутствовать. Членов нулевой степени также не будет, т.к. W (0,0) 0 . Не будет и членов второй степени, которые учитываются при

расфокусировке оптической системы. Будем считать, что система сфокусирована, и наблюдается параксиальное изображение. Тогда, разложение функции W в ряд имеет вид:

где W (2k ) – полином степени 2к, описывает волновую аберрацию порядка 2к.

32

где (B,C,D,E,F) – постоянные, измеряемые в долях световой волны. В частном случае равенства нулю всех коэффициентов в (4.22) волновой фронт, проходящий через выходной зрачок, представляет собой сходящуюся сферическую волну. В общем случае эти коэффициенты отличны от нуля. Тогда каждый член в (4.22) описывает определенный тип отклонений волнового фронта от правильной сферической формы.

1. Сферическая аберрация ( B 0; C, D, E, F 0).

Аберрационные кривые в этом случае имеют форму концентрических окружностей, центры которых расположены в точке изображения. Наличие сферической аберрации эквивалентно тому, что в плоскости выходного зрачка волновой фронт умножается на функцию

где As – коэффициент сферической аберрации, измеряемый в длинах волн (0,1,2,4...). R- радиус апертуры выходного зрачка.

2.Кома ( F 0 ).

Вплоскости выходного зрачка при наличии комы волновой фронт умножается на функцию

где Ac – коэффициент аберрации при коме, измеряемый в длинах волн.

3.Астигматизм (C 0 ).

Вслучае астигматизма выходной волновой фронт умножается на функцию

где Aa - коэффициент аберрации при астигматизме.

4. Кривизна поля ( D 0 ).

Волновой фронт при наличии такой аберрации в плоскости выходного зрачка умножается на функцию

смещении вдоль оптической системы плоскости изображения.

5.Дисторсия ( E 0 ).

Вслучае дисторсии выходной волновой фронт умножается на функцию

где Ad – коэффициент аберрации. Эффект дисторсии состоит в смещении изображения в плоскости, перпендикулярной оси оптической системы.

33

Из пяти аберраций Зайделя три (сферическая аберрация, кома и астигматизм) нарушают резкость изображения. Две другие (кривизна поля и дисторсия) изменяют его положение. В некоторых случаях аберрации Зайделя можно уменьшить за счет аберраций более высокого порядка.

Согласно результатам, изложенным выше, учет аберраций в оптической системе может осуществляться путем умножения распределения света в фокальной плоскости (плоскости спектра) оптической системы на

формирования изображения в двойной оптической системе. Имея в виду, что

соответствующая максимальной частоте, пропускаемой оптической системой, ( As , Aa , Ac , Ak , Ad ) коэффициенты аберрации.

5. Фильтрация изображений в когерентной оптике

5.1. Процессор с двумя линзами

Рассмотрим схему оптической системы процессора с двумя линзами, изображенную на рис. 5.1. Система включает в себя две линзы с равными фокусными расстояниями f . Входной плоскостью оптической системы является передняя фокальная плоскость линзы Л 1 , а выходной плоскостью – задняя фокальная плоскость линзы Л 2 . Если во входную плоскость

34

поместить транспарант и осветить его плоской монохроматической световой волной, то в выходной плоскости наблюдается изображение транспаранта в масштабе 1:1, которое повернуто относительно исходного транспаранта на

180 o .

f f f

Рис. 5.1. Схема оптической системы процессора с двумя линзами:

T – транспарант, Л 1 и Л 2 – линзы с одинаковым фокусным расстоянием f, Н – плоскость фильтрации, П – плоскость наблюдения (входная плоскость).

На рис. 5.1 процесс формирования изображения можно проиллюстрировать с помощью стрелки, как это принято в геометрической оптике. Указанный известный результат с позиций фурье-оптики может быть получен в два этапа. На первом этапе в задней фокальной плоскости линзы Л 1 происходит изменение комплексной амплитуды волны, пропорциональное преобразованию Фурье. Комплексная амплитуда в этой частотной плоскости будет равна

35

т.е. при использовании аппарата преобразования Фурье получен известный результат: изображение транспаранта в выходной плоскости повернуто на 180 o . Общий фазовый сдвиг, не зависящий от координат ( x, y ), описывается

множителем exp i4kf exp i 4kf . Подчеркнем, что линзы Л1 и Л2 и

прилегающие к ним слои пространства на каждом из двух этапов производят одно и то же преобразование комплексной амплитуды волны, пропорциональное прямому преобразованию Фурье. Если в выходной

(x1, y1 ) , то можно считать, что на втором этапе производится преобразование,

пропорциональное обратному преобразованию Фурье в соответствии с его определением,

можно сопоставить обратное преобразование Фурье, если координатные системы в этих плоскостях повернуть относительно друг друга на 180 . Примем систему (x2 , y2 ) в качестве основной координатной системы

выходной плоскости.

Представим теперь, что в плоскости пространственных частот (плоскость Н на рис. 5.1) помещен модулятор, например, амплитудный транспарант с функцией пропускания H (x1, y1) . Такой транспарант является

фильтром пространственных частот, поскольку он по-разному изменяет

36

амплитуду p1 (x1, y1 ) в разных точках плоскости ( x1 , y1 ), соответствующих

разным частотам. Непосредственно за фильтром комплексное поле волны описывается произведением функции p1 (x1, y1 ) , определяемой выражением

(5.1), и функции пропускания H (x1 , y1 ) . По аналогии с выражением (5.2)

можно записать комплексную амплитуду в выходной плоскости. Если использовать систему координат (x2 , y2 ) , то оператор прямого

преобразования Фурье F заменяется оператором обратного преобразования Фурье F 1 . В результате получаем

Интегральное преобразование в этой формуле является обратным преобразованием Фурье от произведения двух фурье-образов. Если фурьеобразу T , соответствует координатная функция t(x2 , y2 ) в выходной

плоскости, то функции H , можно привести в соответствие некоторую функцию

Согласно теореме о свертке, обратное преобразование Фурье от произведения двух фурье-образов равно свертке этих функций. Поэтому

Функция h(x2 , y2 ) называется безразмерным импульсным откликом фильтра, а функция H( , ) – передаточной функцией. Название «импульсный отклик» обусловлено тем, что функция h(x2 , y2 ) может быть

получена на выходе оптической системы, если в качестве источника использовать не плоскую волну, a – точечный источник сферической волны, расположенный на оси z на расстоянии f от первой сферической линзы

(транспарант T не нужен). Тогда на фильтр, находящийся в плоскости H , будет падать плоская волна, а в выходной плоскости получается распределение комплексных амплитуд, пропорциональное h(x2 , y2 ) .

37

Таким образом, результат фильтрации пропорционален свертке функции пропускания входного транспаранта и импульсного отклика фильтра. Если в системе, изображенной на рис. 5.1, фильтр отсутствует, то это означает, что передаточная функция равна единице. Импульсным

функции с – функцией Дирака равна самой функции, т.е. в системе (x2 , y2 )

выходной плоскости, согласно (5.11), должно наблюдаться изображение входного транспаранта.

Примером простейших фильтров могут служить фильтры низких и высоких пространственных частот. Фильтром низких частот может являться «бесконечный» экран с вырезанным прямоугольным отверстием размерами 2b 2c . Если этот фильтр разместить в частотной плоскости так, чтобы его

пропускать более высокие частоты. Фильтр высоких частот не пропускает низкие частоты и представляет собой прямоугольный непрозрачный экран размерами 2b 2c , размещенный на оси оптической системы в плоскости пространственных частот.

5.2. Пространственно-частотные фильтры

Пространственно-частотные фильтры (ПЧФ) осуществляют модуляцию оптического сигнала по амплитуде, фазе или одновременно по амплитуде и фазе в частотной плоскости процессора пространственно-частотной фильтрации. На рис. 3.4 приведена классификация передаточных функций ПЧФ. Различают амплитудные (5.18), фазовые (5.19) и комплексные (5.20) передаточные функции (ПФ):

нормированные ПФ реализуются в виде поглощающих фильтров (диафрагм, амплитудных транспарантов и пр.). Знакопеременные фильтры требуют применения специальных методов кодирования. В классе фазовых ПФ можно выделить бинарные 0, и приведенные ПФ 0 2 . Фазовая ПФ общего вида сводится к частному случаю приведенных ПФ путем вычитания 2 m радиан ( m – целое число). Типовые фазовые модуляторы (линзы,

призмы и др.) описываются уравнениями вида (5.19). Бинарные и приведенные фазовые ПФ реализуются в виде рельефно-фазовых фильтров (фазовых транспарантов).

В классе комплексных ПФ выделим ПФ приведенного вида

38

где 0 a 1; . Можно показать, что любую ПФ общего вида (3.20) с точностью до постоянного множителя можно привести к виду (3.21). Это означает, что любую ПФ можно представить в виде произведения амплитудной неотрицательной нормированной ПФ и фазовой приведенной ПФ.

Передаточная функция

Рис. 5.2. Классификация передаточных функций пространственно-частотных фильтров

Различают два метода физической реализации комплексных фильтров, соответствующих комплексной передаточной функции (5.20) или (5.21): метод голографической записи и синтез фильтров с помощью ЭВМ (рис. 5.3). Голографические фильтры можно разделить на поглощающие, рельефнофазовые и объемные фазовые.

Комплексные фильтры

Рис. 5.3. Классификация комплексных фильтров по методам их изготовления

Фильтры, синтезированные на ЭВМ, делятся на два класса. Если результатом синтеза является транспарант с модулированным поглощением

39

света, то такой фильтр называется поглощающим. При синтезе может быть реализован и транспарант с модулированным рельефом, т.е. рельефнофазовый фильтр. Если фильтр обеспечивает два уровня амплитудной или фазовой модуляции, то такой фильтр называется бинарным, в противном случае – многоуровневым.

Все методы физической реализации комплексных фильтров имеют некоторую общность. Требуемая комплексная передаточная функция преобразуется в действительную неотрицательную функцию, которая по воздействию на оптический сигнал эквивалентна требуемой передаточной функции. В голографических фильтрах преобразование производится на этапе голографической записи, в фильтрах, синтезированных на ЭВМ, при кодировании комплексных ПЧФ.

5.3. Голографические пространственно-частотные фильтры

Передаточная функция пространственно-частотного фильтра в общем случае является комплексной. На первых этапах разработки фильтров основную трудность представляла запись фазовой характеристики передаточной функции.

СД

Рис. 5.4. Схема записи фурье-голограммы с делителем светового пучка:

Т– транспарант; Л – линза; ФД-фотодетектор; СД – cветоделительный кубик; З и З’– зеркала

Фазовой характеристике соответствует изменение толщины подложки, а амплитудной характеристике – изменение прозрачности фотопленки. Сочетание (наложение) амплитудного и фазового фильтров давало комплексный фильтр-модулятор. Из-за больших трудностей, связанных с созданием сложных рельефов подложек, удавалось получить ограниченный класс фильтров с простейшими передаточными функциями. Положение изменилось после того, как в 1963 г. Вандер-Люгт предложил голографический метод синтеза комплексных пространственных фильтров.

Представим себе голограмму, на которой зарегистрирован результат интерференции опорной плоской волны и предметной волны, несущей информацию о фурье-образе какого-либо транспаранта. Предметная волна формируется с помощью линзы, транспаранта с функцией амплитудного пропускания h(x, y) и исходной плоской волны с амплитудой a0 . Один из

40