§ 2.3. Теплопроводность в тонких длинных стержнях

Задача 2.3.1. Температура газа в реакционной камере измеряется термопарой, которая помещена в гильзу (медную или стальную трубку), заполненную маслом. Термопара показывает на конце гильзы температуру, равную 300 C.

Оценить погрешность измерения, возникающую за счет отвода тепла от медной гильзы путем теплопроводности, если температура у основания гильзы 40 C, длина 120 мм, толщина стенки гильзы 1,5 мм, коэффициент теплоотдачи от газа к гильзе  = 25 Вт/мС. Оценить потери тепла по этой гильзе и истинную температуру газа.

Ответ: погрешность измерения с медной гильзой составляет 200%, со стальной - около 20%.

Указания к решению: погрешность измерения - разность t(l) между истинной температурой среды и температурой конца гильзы, измеряемой термопарой, - рассчитывается по формуле для длинного тонкого стержня:

,

где

; ; .

Произвести расчет потерь тепла для случая, когда термопара помещена в медную гильзу, используя закон Био-Фурье:

, ;

,

,

, следовательно,

;

.

Задача 2.3.2. Рассчитать потери тепла по стальному штоку диаметром 50 мм и длиной 100 мм при условии, что температура внутри камеры 900 C, коэффициент теплоотдачи  = 25 Вт/м²·С, температура у его основания 40 С.

Ответ: потери около 300 Вт.

Указания к решению: используя решение задачи 2.3.1, получить:

, .

З адача 2.3.3. Для охлаждения внешней поверхности полупроводникового устройства внешняя поверхность его боковых стенок выполнена ребристой с вертикальными алюминиевыми ребрами. В плане устройство квадратное, ширина его боковых стенок b = 800 мм, высота h = 1000 мм, высота и ширина ребер соответственно равны l = 30 мм,  = 3 мм. Каждая стенка имеет 40 ребер. Температура у основания ребра t₀ = 30 C, температура окружающей среды t_ж = 20 C, коэффициент теплопроводности алюминия  = 200 Вт/м·С, коэффициент теплоотдачи к окружающему воздуху  = 7 Вт/м²·С.

Вычислить температуру на конце ребра t(l) и количество тепла отдаваемого четырьмя боковыми стенками с ребрами Q_р. Сравнить с количеством тепла Q, отдаваемым неоребренными стенками в тех же условиях.

Ответ: t(l) = 29,8 С, Q_р  850 Вт; в случае неоребренных стенок тепла уходит гораздо меньше: Q  225 Вт, т.е. первый вариант дает в 3,5 раза больший отвод тепла.

Указания к решению: взять из справочника коэффициент теплопроводности алюминия  = 200 Вт/м·С, и рассчитать для заданных условий коэффициент теплоотдачи  = 7 Вт/м²·С. Так как высота ребер значительно больше остальных размеров, то расчет для каждого ребра с определенной степенью приближения можно свести к расчету для длинного тонкого стержня:

; ;

; ; ;

;

; для неоребренных стенок .

Задача 2.3.4. Нагреватель выполнен в виде вертикальной трубы с продольными, стальными ребрами прямоугольного сечения. Высота трубы h = 1,5 м, наружный диаметр d₂ = 60 мм, длина ребер l = 50 мм, толщина  = 3 мм, общее число ребер n = 20, температура окружающего воздуха t_ж = 15 C, стенки нагревателя t₀ = 90 C, коэффициент теплоотдачи от ребер и внешней поверхности трубы  = 9,5 Вт/м²C.

Вычислить количество тепла, отдаваемое этим нагревателем в окружающую среду, и сравнить его с количеством тепла от нагревателя без ребер.

Ответ: Q­_оребр.= 2079 Вт; Q_{неоребр} = 201 Вт.

Указания к решению: взятый из справочника коэффициент теплопроводности для стали равен  = 50 Вт/м·С. Каждое ребро принимается за длинный тонкий стержень, а общее количество отдаваемого тепла берется как сумма количества тепла, отдаваемого каждым ребром и гладкой цилиндрической поверхностью. Расчет аналогичен приведенному в задаче 2.3.3.