§ 1.2. Границы применения уравнения Фурье

1. Для изохорического процесса.

2. Для областей, где все характеристики процесса - непрерывные функции координат.

Рис.1.8.

3. Если  = (t), с_v = с_v(t). В условиях, когда  << _ср или с << с_ср, можно принять  = const, с_v = const (рис.1.8).

Если .

Если .

Коэффициент температуропроводности а, если его рассматривать как /с_v, имеет размерность [м²/ч] или [м²/с] и заключен в диапазоне:

a = 0,510^-4  400 м²/ч или а = 10^-8 – 10^-1 м²/с.

На примере изучения теплопроводности можно понять суть феноменологического метода.

1.	Среда непрерывная		применение математического анализа бесконечно малых или дифференциальных уравнений.
2.	Использование наиболее общих законов физики		получение незамкнутой системы дифференциальных уравнений (уравнения Умова).
3.	Использование гипотезы о дополнительных связях величин (гипотезы Био-Фурье)		получение замкнутой системы дифференциальных уравнений (уравнения Фурье).
4.	Экспериментальное определение значений  и сv		компенсация нашего незнания микроскопической природы явления или процесса

Контрольные вопросы

1. Объяснить различия между уравнением теплопроводности Фурье и законом Био-Фурье.

2. В чем заключается суть феноменологического метода? Каковы его отличия от статистического метода изучения процесса?

§ 1.3. Условия однозначности для процесса теплопроводности

Условия однозначности формулируют единственным образом все частные особенности конкретного процесса.

Виды условий однозначности:

1) геометрические условия - задают форму и размеры объема, в которых происходит процесс;

2) физические условия - задают численные значения физическим параметрам вещества, которые входят в дифференциальное уравнение и условия однозначности (например, , с_v, q_v);

3) временные условия - задают начальные распределения искомой величины в начальный момент времени и другие особенности протекания процесса во времени;

4) граничные условия - задают особенности протекания процесса на границах занятого процессом объема.

Граничные условия трех родов:

а) 1-го рода - задают распределение температуры на границах занятого процессом объема t_F (рис.1.9).

Задано: .

Н

Рис.1.9.

айти: . Такая задача называется задачей Дирихле;

б) 2-го рода - задают градиент температуры на границах занятого процессом объема (рис.1.10).

Рис.1.10.

Задано: ,

г

Рис.1.11.

де n - нормаль к поверхности в любой точке.

Найти: . Такая задача называется задачей Неймана;

в) 3-го рода - задают условия теплообмена между поверхностью занятого процессом объема и средой, его окружающей (рис.1.11).

Подвод тепла к поверхности F:

.

Полуэмпирический закон Ньютона-Рихмана: при конвекции плотность потока тепла прямо пропорциональна (t_с  t_ж):

,

где  - коэффициент теплоотдачи, Вт/м²с,  = f (W, физические свойства среды, шероховатость); W - скорость среды.

Отвод тепла: .

З

Рис.1.12.

адано: .

Найти: q, t_c, ;

г) 4-го рода - задают условия теплообмена между двумя соседними твердыми телами, имеющими идеальный тепловой контакт друг с другом (рис.1.12).

Задано: поток справа от поверхности F равен потоку слева от поверхности:

;

.

Найти: q, t_c.

Примечание. Здесь и далее индексы обозначают: с - поверхность, "стенку"; ж - жидкую или газовую среду, "жидкость".

Задача 1.2.1. Рассчитать коэффициенты температуропроводности a при постоянном объеме или давлении для нержавеющей стали, воды и воздуха, для нормальных атмосферных условий, а также кинематическую вязкость  для воды и воздуха при тех же условиях. Убедиться, что их размерности одинаковы.

Ответ: a_сталь = 610^–6 м²/c; a_вода = 1310^–8 м²/c; a_воздух = 1910^–6 м²/c; _вода = 1,810^–6 м²/c; _воздух = 1310^–6 м²/c.

Указания к решению: найти в справочнике коэффициенты теплопроводности , теплоемкость С_v или С_p (в Дж/кг), плотность , динамическую вязкость  (в кг/мс) для соответствующих температуры и давления. Провести расчеты по формулам , .

Задача 1.2.2. Рассчитать коэффициент теплоотдачи поверхности , если тепловая мощность, отводимая от поверхности, Q составляет 15 кВт, площадь поверхности 50 дм², ее температура 550 С, а температура воздуха 20 С.

Ответ:  = 57 Вт/м²c.

Указания к решению: при решении используется закон Ньютона-Рихмана q = ( t_с – t_ж ), где  - расчетный коэффициент, а не физический параметр:

.