Градиент температуры (qrad t)

Из опыта - процесс теплопроводности возникает лишь в неравномерно нагретых телах - введем степень неравномерности поля температуры - grad t (рис.1.5),

Рис.1.5.

~ grad t - гипотеза Био-Фурье. Плотность потока (q) прямо пропорциональна grad t.

 grad t - закон Био-Фурье.

 [Вт/мС] - коэффициент теплопроводности, имеющий единственное значение для каждого исследуемого вещества.

Пример: для серебра  = 460 Вт/мС;

для меди  = 380 Вт/мС.

Для газов величина  колеблется от 510^-3 (пары хлороформа) до 0,5 (водород при высокой температуре t), возрастает с увеличением t и практически не зависит от давления.

Для жидкостей величина  изменяется от 810^-3 (масла) до 0,6 Вт/мС (вода) и, как правило, уменьшается с увеличением t и практически не зависит от давления.

Для металлов величина  изменяется от 7 (Bi) до 460 (Ag), медленно уменьшается с увеличением температуры и практически не зависит от давления (рис.1.6).

В кристаллах (анизотропных телах) коэффициент теплопроводности зависит от координат точки и направления из данной точки. В них имеются три направления; по ним  достигает экстремальных значений (главные оси проводимости), которые могут существенно отличаться друг от друга: ₁  ₂  ₃, где  - физический параметр, характеризует способность вещества проводить тепло.

М Рис.1.6. Атематическое описание теплопроводности

Два основных условия процесса переноса тепла теплопроводностью:

1) тепловая энергия не превращается в другие виды энергии, но другие виды энергии превращаются в тепловую;

2) более (менее) нагретые части среды (тела) неподвижны относительно друг друга.

Основные ограничения теории теплопроводности:

- все характеристики процесса являются непрерывными функциями координат и времени;

- затраты энергии на термические деформации малы по сравнению с внутренней энергией;

- конвекция и лучистый теплообмен отсутствуют.

Дифференциальное уравнение Фурье

Вывод этого дифференциального уравнения основан на I и II началах термодинамики.

Вывод уравнения Фурье (рис.1.7):

dQ_F + dQ_v = dU + dL,

г

Рис.1.7.

де dQ_F - тепловая энергия, проходящая через поверхность тела; dU - изменение внутренней энергии; dL - энергия, затраченная на изменение объема тела.

,

- уравнение Умова. Если его дополнить законом Био-Фурье:

,

то

,

т.е. получено уравнение Фурье, или уравнение теплопроводности. При условии, что  = const в диапазоне t(t₁; t₂), или  = _{средний арифметический} = = _{cредний интегральный}, следовательно,  можно вынести за знак оператора, а div grad есть лапласиан ²:

,

где - коэффициент температуропроводности, м²/с; с_v - теплоемкость при постоянном объеме.

Дифференциальное уравнение Умова - это уравнение относительно пяти неизвестных, поэтому для его решения дополняем его законом Био-Фурье и получаем уравнение Фурье относительно одного неизвестного - температуры t.

Контрольные вопросы

1. Объяснить суть трех механизмов переноса тепла.

2. В чем заключается различие между гипотезой и законом Био-Фурье, между уравнением Умова и уравнением Фурье?

Задача 1.1.1. Вычислить площадь теплового потока через плоскую стену, толщина которой значительно меньше ширины и высоты h = 2,5 м, если потери тепла через нее составляют Q = 165 кВт.

Ответ: q = 220 Вт/м².

Указания к решению: тепловая нагрузка q (плотность теплового потока) рассчитывается по формуле для тонкой пластины.

Задача 1.1.2. Электронагреватель из нихромовой проволоки диаметром d = 2 мм и длиной l = 10 м обдувается воздухом с температурой t_ж = 20 C.

Вычислить тепловой поток с одного погонного метра нагревателя, а также температуру на поверхности проволоки, если сила тока I = 24 А, а коэффициент теплоотдачи к среде задан  = 45 Вт/м²С.

Ответ: q­­_l = 270 Вт/м; t_c = 447 С.

Указания к решению: взять из справочника _{нихрома} = 1,1 Оммм²/м,  = 17,5 Вт/мС.

Тепловой поток с погонного метра нагревателя равен

; .

Для определения температуры на поверхности нагревателя воспользуемся формулой .

Задача 1.1.3. Найти плотность теплового потока q и градиент температуры в тонкой кремниевой пластине, если ее толщина составляет  = 0,5 мм, а температура на поверхностях t_c1 = 210 С, t_c2 = 210 С соответственно.

Ответ:  grad t = 5 · 10³ С/м, q = 7,2  10⁵­­­­ Вт/м².

Указания к решению: для линейной зависимости температуры в тонкой пластине

,

плотность теплового потока определяется законом Био-Фурье , теплопроводность кремния  = 145 Вт/мС (из справочника).