Градиент температуры (qrad t)

Из опыта - процесс теплопроводности возникает лишь в неравномерно нагретых телах - введем степень неравномерности поля температуры - grad t (рис.1.5),

Рис.1.5.

~ grad t - гипотеза Био-Фурье. Плотность потока (q) прямо пропорциональна grad t.

 grad t- закон Био-Фурье.

 [Вт/мС] - коэффициент теплопроводности, имеющий единственное значение для каждого исследуемого вещества.

Пример: для серебра  = 460 Вт/мС;

для меди = 380 Вт/мС.

Для газоввеличинаколеблется от 510^-3 (пары хлороформа) до 0,5 (водород при высокой температуреt), возрастает с увеличениемtи практически не зависит от давления.

Для жидкостейвеличинаизменяется от 810^-3(масла) до 0,6 Вт/мС (вода) и, как правило, уменьшается с увеличениемtи практически не зависит от давления.

Для металловвеличинаизменяется от 7 (Bi) до 460 (Ag), медленно уменьшается с увеличением температуры и практически не зависит от давления (рис.1.6).

В кристаллах (анизотропных телах) коэффициент теплопроводности зависит от координат точки и направления из данной точки. В них имеются три направления; по ним достигает экстремальных значений (главные оси проводимости), которые могут существенно отличаться друг от друга:₁₂₃, где- физический параметр, характеризует способность вещества проводить тепло.

М Рис.1.6.Атематическое описание теплопроводности

Два основных условия процесса переноса тепла теплопроводностью:

1) тепловая энергия не превращается в другие виды энергии, но другие виды энергии превращаются в тепловую;

2) более (менее) нагретые части среды (тела) неподвижны относительно друг друга.

Основные ограничения теории теплопроводности:

- все характеристики процесса являются непрерывными функциями координат и времени;

- затраты энергии на термические деформации малыпо сравнению с внутренней энергией;

- конвекция и лучистый теплообмен отсутствуют.

Дифференциальное уравнение Фурье

Вывод этого дифференциального уравнения основан на I и II началах термодинамики.

Вывод уравнения Фурье (рис.1.7):

dQ_F + dQ_v = dU + dL,

г

Рис.1.7.

деdQ_F- тепловая энергия, проходящая через поверхность тела;dU- изменение внутренней энергии;dL- энергия, затраченная на изменение объема тела.

,

- уравнение Умова. Если его дополнить законом Био-Фурье:

,

то

,

т.е. получено уравнение Фурье, или уравнение теплопроводности. При условии, что  = const в диапазонеt(t₁; t₂), или = _{средний арифметический} = = _{cредний интегральный}, следовательно,можно вынести за знак оператора, аdiv gradесть лапласиан²:

,

где - коэффициент температуропроводности, м²/с;с_v- теплоемкость при постоянном объеме.

Дифференциальное уравнение Умова- это уравнение относительно пяти неизвестных, поэтому для его решения дополняем его законом Био-Фурье и получаемуравнение Фурьеотносительно одного неизвестного - температурыt.

Контрольные вопросы

1. Объяснить суть трех механизмов переноса тепла.

2. В чем заключается различие между гипотезой и законом Био-Фурье, между уравнением Умова и уравнением Фурье?

Задача 1.1.1.Вычислить площадь теплового потока через плоскую стену, толщина которой значительно меньше ширины и высотыh= 2,5 м, если потери тепла через нее составляютQ= 165 кВт.

Ответ:q = 220 Вт/м².

Указания к решению:тепловая нагрузкаq(плотность теплового потока) рассчитывается по формуледля тонкой пластины.

Задача 1.1.2. Электронагреватель из нихромовой проволоки диаметромd= 2 мм и длинойl= 10 м обдувается воздухом с температуройt_ж= 20C.

Вычислить тепловой поток с одного погонного метра нагревателя, а также температуру на поверхности проволоки, если сила тока I= 24 А, а коэффициент теплоотдачи к среде задан= 45 Вт/м²С.

Ответ: q­­_l = 270 Вт/м;t_c= 447С.

Указания к решению:взять из справочника_{нихрома}= 1,1 Оммм²/м,= 17,5 Вт/мС.

Тепловой поток с погонного метра нагревателя равен

;.

Для определения температуры на поверхности нагревателя воспользуемся формулой .

Задача 1.1.3.Найти плотность теплового потокаqи градиент температуры в тонкой кремниевой пластине, если ее толщина составляет= 0,5 мм, а температура на поверхностяхt_c1= 210С,t_c2= 210С соответственно.

Ответ: gradt= 5 · 10³С/м,q= 7,210⁵­­­­ Вт/м².

Указания к решению:для линейной зависимости температуры в тонкой пластине

,

плотность теплового потока определяется законом Био-Фурье , теплопроводность кремния= 145 Вт/мС (из справочника).