3.Вывод разрешающих уравнений для определения главных напряжений методом неопределенных множителей Лагранжа.

Результат (8.11) может быть получен более изящно методом неопределенных множителей Лагранжа, заключающемся в переходе от задачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум. В нашем случае задача состоит в определении положения системы координат после ее поворота с це-лью достижения максимума проекции вектора напряжений при дополни-

тельном условии Построим новую функцию где – неопределенный множитель Лагранжа.Используя (8.12), после небольших преобразований получим:

Найдем производные:

Отсюда снова имеем ту же систему уравнений, что и (8.11):

Систему (8.11) можно представить в виде:

Нетривиальное решение системы (8.12) с дополнительным условием

можно обеспечить, если выполняется условие:

Билет 20

1.Винтовая дислокация, схема. Возникновение дислокаций. Влияние пластической деформации на количество дислокаций.

На рис. 3.2 представлена винтовая дислокация.

Дислокации возникают в процессе кристаллизации и пластической деформации, локализуются преимущественно по границам зерен и накапливаются в процессе пластической деформации. Возникновение дислокаций при кристаллизации объясняется наличием случайных дефектов при образованиидендритной структуры. Наличие дислокаций и их взаимодействие с другими дефектами объясняет механизм упрочнения в металлах, которое зависит от плотности дислокаций – суммарной длины линий дислокаций в единичном объеме.

В кристалле меди, приготовленном обычным способом, плотность дислокаций составляет 10^6

на кв. см. Отжигом ее удается снизить до (10^5…10^4) на кв. см. В особых условиях удается вырастить кристалл с плотностью дислокаций порядка (1…1,5)10^3 на кв. см. Аналогичная ситуация имеет место и с другими металлами. Изменение плотности дислокаций приводит к существенному изменению свойств материалов.

2.Упрочнение. Дифференциальное соотношение процесса образования шейки при растяжении образца. Условие постоянства объема в терминах а,ε (не уверен что правильно)

Совокупность явлений, связанных с изменением механических и физико-химических свойств металлов (пределов упругости, пропорциональности и текучести, а также прочности, твердости, относительного удлинения и сужения, ударной вязкости, электрического сопротивления, сопротивления коррозии, теплопроводности, магнитных свойств) в процессе пластической деформации, называется упрочнением (наклепом, нагартовкой) .

где ϭусл – некое критическое значение напряжения; А – площадь поперечного сечения образца в момент образования шейки.

Взяв полный дифференциал от соотношения (4.3), получаем:

В формуле (4.5) первый член отрицателен из-за уменьшения площади сечения, а второй – положителен вследствие упрочнения; на этапе равномерного удлинения первый член больше второго по абсолютной величине, а после образования шейки – наоборот. Приравнивая силы в формулах (4.3) и (4.4), получим:

В момент образования шейки из формулы (4.6) следует:

где ϭш , Аш – напряжение и площадь, относящиеся к моменту образования шейки; ϭв – предел прочности материала. Из равенства объемов получаем:

Дифференцирование формулы (4.8) приводит к соотношению:

Возьмем приращение dF из формулы (4.5) в момент образования шейки

и, подставляя значения из соотношений (4.8) и (4.9), получим: