2. Полиномиальная формула и бином Ньютона.

Пусть требуется вычислить выражение , т.е. перемноживскобок, привести его к виду

.

Числа называются полиномиальными коэффициентами. Найдем эти числа. В соответствии с правилами алгебры из каждой скобки выбирается один из символов и они перемножаются. Коэффициенты получаются в результате приведения подобных членов в полученной таким образом сумме произведений. Таким образом, коэффициентравен числу последовательностей длины, составленных из символов, причем символиспользуетсяраз. Как было установлено в разделе 1.1, число таких последовательностей равно. Это дает полиномиальную формулу:

В частном случае, когда в - ую степень возводится двучлен, она используется наиболее часто и называется биномом Ньютона

,

где биномиальные коэффициенты – величины, фигурировавшие ранее как числа сочетаний.

Из школьного курса математики хорошо известны частные случаи бинома при и.

Биномиальные коэффициенты очень важны и встречаются практически во всех разделах математики. Приведем важнейшие тождества для биномиальных коэффициентов.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Данные тождества могут быть доказаны элементарными алгебраическими выкладками. Однако поучительны доказательства, вскрывающие их комбинаторный смысл.

В справедливости тождества 1 можно убедиться, если заметить, что каждое - элементное подмножество- элементного множества однозначно определяется своим- элементным дополнением. Тождество 2 можно получить с помощью следующего рассуждения. Выделим в- элементном множестве один из элементов. Каждое- элементное подмножество либо содержит, либо не содержит выделенный элемент. Подмножеств первого типа, второго –.

Третье и четвертое тождества следуют, как показано, из формулы бинома, причем третье тождество выражает тот факт, что - элементное множество имеетподмножеств. Пятое тождество получим, если рассмотрим разбиение- элементного множества на- элементное и- элементное. Шестое тождество следует из пятого, если положить.

На втором тождестве основан треугольник Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

……………………..

По бокам треугольника стоят единицы. Каждое число внутри треугольника образуется сложением двух стоящих над ним чисел. В построенном таким образом треугольнике -я строка является строкой биномиальных коэффициентов,, т.е. коэффициентов разложения. Эта красивая числовая таблица, найденная французским ученым Блезом Паскалем в 1654 году, сыграла важную роль в развитии комбинаторики.

Отметим, что биномиальные коэффициенты растут поотдои убывают отдо. При– четном максимальный коэффициент один –, при– нечетном максимальных коэффициентов два –и. Здесь– обозначает максимальное целое, не превосходящее, а– минимальное целое, не меньшее.

Из биномиальной формулы можно извлечь еще целый ряд соотношений между биномиальными коэффициентами. Запишем формулу бинома в виде

.

Продифференцировав ее

и подставив , получим новое интересное соотношение

.

Подставим теперь в формулу бинома вместо мнимую единицую. Получим.

С другой стороны, по формуле Муавра имеем

.

Отсюда получаем еще два соотношения:

;

.

Список получаемых подобным образом соотношений может быть продолжен.

Вопросы для самопроверки.

1. Коэффициент при в разложении (x₁+x₂+x₃)¹⁰ равен а) 10³; б) ; в).

2. Коэффициент при а³b³с⁴ в разложении равен а)12; б) 24; в) 18.

3. Коэффициент при t¹⁷ в разложении равен а); б) 0; в).