Пусть теперь известно, что должен100 рублей,должен200 рублей,должен100 рублейдолжен300 рублей,должен200 рублей. Тогда эту информацию также можно выразить в виде графа:

Граф (ориентированный или неориентированный), дуги или ребра которого помечены положительными числами (весами), называется взвешенным. Таким образом, информация о должниках была задана с помощью взвешенного ориентированного графа.

При графическом задании информации наглядно видно, что система долговых обязательств может быть упрощена cпомощью взаимозачетов, если в графе между некоторым подмножеством вершин существует замкнутый путь (контур), при котором переход между вершинами осуществляется по дугам в направлении стрелок. Найдя на этом пути дугу минимального веса, вычтя этот вес из весов всех дуг пути и убрав дуги нулевого веса, получим ориентированный граф с меньшим числом дуг. При этом каждое лицо, входящее в замкнутый путь, прощает часть своего долга в количестве минимального веса дуги на контуре предшествующему лицу, и получает прощение такой же суммы долга от последующего лица. Таким образом, соблюдается нулевой баланс.

На нашем графе таким путем является путь . Вычтя из весов всех его дуг 100, получим граф:

Систему выделенных подмножеств конечного множества также можно представить в виде графа, множество вершин которого разбито на два подмножества (доли): подмножество вершин, соответствующих элементам исходного множества, и подмножество вершин, соответствующих выделенным его подмножествам. Если элемент принадлежит подмножеству, то соответствующие вершины соединены ребром. Таким образом, ребра могут соединять только вершины из разных долей. Такие графы называются двудольными. Пусть, например, в исходном множестве выделены подмножества. Тогда двудольный граф, представляющий данную систему подмножеств, выглядит следующим образом:

Граф можно также представлять себе и как некоторую коммуникационную сеть, считая, например, вершины городами, а ребра – соединяющими их дорогами. При этом длины дорог будут весами соответствующих ребер. Тогда естественным образом возникает задача о нахождении кратчайшего пути из одной вершины взвешенного графа в другую. Разумеется, она может быть решена полным просмотром всех возможных разумных путей. Однако, такой просмотр может привести к огромному перебору, неосуществимому даже на компьютере. Рассмотрим в качестве примера следующий граф:

Кратчайшим маршрутом является в данном случае путь Полный перебор, однако, требует просмотравариантов маршрутов:

И это для графа всего лишь с 11 вершинами! Если же число вершин достигает сотни, то такой перебор может оказаться не под силу даже компьютеру. Поэтому задача состоит в нахождении такого алгоритма, число операций которого бы не слишком быстро возрастало с ростом числа вершин. Такой алгоритм действительно существует.

Задача нахождения эффективных алгоритмов или доказательство их отсутствия является важнейшей проблемой современной дискретной математики, не решенной полностью до сих пор. На протяжении книги читатель встретит множество алгоритмов, эффективность которых обсуждается.

Связав с каждым подмножеством конечного множества характеристический вектор, мы фактически закодировали подмножества характеристическими векторами. Двоичные наборы из нулей и единиц могут кодировать объекты самой различной природы. При этом возникают задачи:

1) экономичности кодирования, т.е. затрата наименьшего числа битов информации на кодирование;

2) помехоустойчивости кодирования, т.е. обеспечение того, чтобы при ошибке в кодирующем наборе в небольшом числе битов не могло произойти перепутывание кодируемых объектов;

3) секретности кодирования, т.е. кодирование таким образом, чтобы постороннее лицо не могло знать, какие именно объекты скрываются под двоичными кодами (криптографическое кодирование).

Вот вкратце перечень тем, затронутых в книге. Что же касается используемых методов и приемов, то остановимся на методе математической индукции как одном из наиболее распространенных приемов дискретной математики.

Как уже отмечалось в предисловии, задача о раскраске произвольной карты четырьмя красками является одной из очень трудных задач, решение которой удалось получить только с помощью компьютера. Рассмотрим простейший вариант этой задачи. Пусть на плоскости произвольным образом проведены прямых. Они разбивают плоскость на многоугольные области (конечные или бесконечные). Требуется доказать, что они могу быть раскрашены двумя цветами так, что никакие две области с общей границей не были закрашены одним цветом. Вот пример правильной раскраски карты, полученной проведением четырех прямых:

Доказательство того, правильная раскраска всегда возможна, легко проводится индукцией по числу прямых. Одна прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, которые раскрашиваются двумя цветами, т.е. база индукции справедлива. Допустив теперь, что карта, полученная проведениемпрямых, всегда может быть раскрашена двумя цветами, докажем, что правильная раскраска всегда существует и для карты, полученной проведениемпрямых. Пусть имеется произвольная карта, полученная проведениемпрямой. Убрав одну из прямых, получим карту спрямыми, которая по предположению индукции может быть раскрашена двумя цветами. Возьмем такую раскраску, а теперь восстановим убранную прямую и в одной ее полуплоскости оставим раскраску неизменной, а в другойизменим на противоположную. Полученная таким образом раскраска карты спрямой, очевидно, будет правильной.

Рассмотрим другой пример. Пусть на кольцевой дороге стоит произвольное число однотипных автомобилей. Известно, что суммарное количество бензина в их бензобаках достаточно для того, чтобы один автомобиль мог совершить полный круг. Нужно доказать, что для произвольно выбранного направления, по часовой или против часовой стрелки, всегда найдется автомобиль, который, начав двигаться в данном направлении и забирая бензин по ходу движения у встречаемых им автомобилей, сможет совершить полный круг.

Доказательство проведем индукцией по числу автомобилей. Для одного автомобиля утверждение, очевидно, справедливо. Пусть оно справедливо для автомобилей. Докажем его справедливость дляавтомобиля. Средиавтомобилей всегда найдется такой автомобиль (пусть это будет автомобиль), который сможет доехать до ближайшего в данном направлении автомобиля (пусть это будет автомобиль), так как в противном случае суммарного количества бензина было бы недостаточно для совершения круга одному автомобилю. Теперь мысленно уберем автомобильс кольцевой дороги, перелив его бензин автомобилю. Среди оставшихсяавтомобилей по предположению индукции существует автомобиль, способный проехать полный круг. (Случай, когда автомобилемокажется автомобиль, возможен). Теперь восстановив исходное положениеавтомобилей, легко видеть, что автомобильспособен совершить полный круг.