Введение.

Множество – это собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимых как единое целое. Так определил важнейшее для математики понятие основоположник теории множеств Георг Кантор (1845-1918) во второй половине XIX века. Составляющие множество объекты называются элементами множества. Само понятие множества, попыткой прояснить которое является приведенное определение, давно укоренилось в нашем сознании и отражено в естественном языке. Так мы говорим о компании людей, стаде коров, косяке рыб, стае птиц, и т.д. Если основным множеством, с которым имеет дело математический анализ, является множество действительных чисел, то дискретная математика занимается, в основном, конечными множествами, т.е. множествами, состоящими из конечного числа элементов.

Общий метод задания произвольного множества состоит в формулировке некоторого характеристического свойства, которым обладают элементы множества и только они. Например, множество натуральных чисел, делящихся на 5 , или множество людей, проживающих в определенном населенном пункте. Первое из множеств бесконечно, второе, очевидно, конечно. Конечное множество может быть, в принципе, задано и простым перечислением своих элементов в произвольном порядке, которое принято записывать в фигурных скобках: . Таким образом, иобозначают одно и то же – множество, состоящее из трех элементов:. Если– множество, состоящее изэлементов, то говорят, что мощность множестваравнаи пишут. Тот факт, чтоявляется элементом множествазаписывается как.

Список элементов множества, заключенный в круглые скобки, обозначает перечисление элементов в определенном порядке. Такое перечисление в соответствии с заданным линейным порядком называется перестановкой элементов множества. Таким образом, иобозначают различные перестановки элементов множества.

Если каждый элемент множества является элементом множества, то множествоназывается подмножеством множества, что записывается как.

Подмножествами являются пустое множество, не содержащее ни одного элемента, и само множество . Если на множествес помощью некоторой перестановкизафиксирован порядок, то подмножествомножестваможно задать с помощью двоичного вектора:, если, и, если, который называется характеристическим вектором подмножества.

Напомним основные операции над множествами.

Множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств или, называется объединением множествии обозначается.

Множество, состоящее из элементов, входящих в оба множества и, называется пересечением множествии обозначается.

Множество, состоящее из элементов, входящих в , но не входящих в, называется разностью множествии обозначается\.

Как правило, множества, с которыми приходится работать, являются подмножествами некоторого универсального множества. В теории чисел таким множеством является множество натуральных чисел, в математическом анализе – множество действительных чисел, а в высших его разделах – множество комплексных чисел. Множество людей, проживающих в определенном населенном пункте, можно рассматривать как подмножество людей, проживающих в государстве, или подмножество вообще всех людей на Земле.

Если такое универсальное для данного круга задач множество U задано, то все рассматриваемые множества будут его подмножествами и для любого из них определена операция дополнения \ .

Эти операции над множествами могут быть наглядно представлены с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

Помимо определенных выше операций над множествами, имеется еще важная операция, называемая прямым или декартовым произведением множеств. Прямым (декартовым) произведением множеств иназывается множество упорядоченных пар, где,. Если геометрическим образом множества действительных чиселявляется прямая, то геометрический образ декартового квадрата– плоскость, так как каждая точка плоскости задается улорядоченной парой действительных чисел. Рассмотрим пример прямого произведения конечных множеств. Пусть,. Тогда, т.е. прямое произведение состоит из 6 элементов.

Конечное множество, между элементами элементами которого отсутствуют какие-либо отношения, является просто собранием не связанных между собой точек. Оно полностью характеризуется числом своих элементов (мощностью) и не представляет интереса в прикладном или теоретическом плане. Задав между элементами множества определенные связи, можно получит более интересные объекты.

Пусть снова . Тогда множествообладает 8 подмножествами:,, соответствующие которым характеристические векторы есть:. Множество подмножеств в этом случае можно визуализировать, считая подмножества вершинами единичного куба, помещенного в положительном октанте, так что характеристические векторы являются координатами вершин:

Заметим, что начав с 3-элементного множества, лишенного какой бы то ни было структуры, т.е. без связей или отношений между его элементами, мы получили 8-элементное множество с интересной структурой. Ребра куба соединяют те подмножества, которые отличаются друг от друга добавлением или выбрасыванием одного элемента, т.е. выражают отношение близости между подмножествами.

Убрав оси координат и оставив только точки, обозначающие подмножества, и ребра, выражающие близость между подмножествами, получим граф – фигуру, состоящую из точек (вершин графа) и соединяющих их линий (ребер графа).

Чтобы указать, какое из двух близких подмножеств больше, нарисуем стрелки, идущие от меньшего подмножества к большему.

Получился ориентированный граф, состоящий из вершин и стрелок, называемых дугами. Говорят, что стрелки задают ориентацию ребер и превращают их в дуги. Если ребро – это неупорядоченная пара вершин, то дуга – упорядоченная. Данный ориентированный граф определяет на множестве подмножеств частичный порядок. Одно подмножество считается больше другого, если оно содержит его. Если ни одно из подмножеств не содержит другого, то они несравнимы. Наибольшим элементом в этом частично упорядоченном множестве является , наименьшим– . Ориентированный граф задает данный частичный порядок в том смысле, что одно подмножество больше другого в том и только в том случае, если из меньшего подмножества можно перейти в большее, двигаясь по дугам графа в направлении стрелок.

Графы и ориентированные графы являются весьма важными объектами в дискретной математике. Чтобы проиллюстрировать их значение, рассмотрим еще пример. Пусть имеется некоторое множество людей, которых условно обозначим буквами . Пусть среди них есть следующие пары знакомых между собой:. Тогда отношение знакомства можно задать следующим графом: