Согласно Малой теореме Ферма в поле для любогоимеем.

Если n – число составное, то кольцо не будет полем. В этом случае мультипликативную группу образуют теэлементов из, которые взаимно просты сn.

Для любого элемента а мультипликативной группы имеем место , что составляет содержание теоремы Эйлера, обобщающей теорему Ферма на случай произвольногоn.

Эффективный метод обращения элементов мультипликативной группы основан на алгоритме Евклида. Пусть требуется найти а^-1. Так как (а, n)=1, то существуют такие целые k₁ и k₂, что 1=k₁а+k₂n. Тогда , т.е.а^-1=k₁.

Выберем в качестве примера n=20. Мультипликативная группа кольца состоит из элементов 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19. Найдём элемент, обратный к 9, т.е. 9^-1. Для этого применим алгоритм Евклида для нахождения общего делителя чисел 20 и 9 (который равен 1). Делим 20 на 9 с остатком

20=29+2.

Делим 9 на 2 с остатком

9=42+1.

Полученную в качестве остатка единицу выражаем из последнего равенства через 9 и 2 и подставляем вместо двойки её выражение из первого равенства

1=9-42=9-4(20-29)=99- 420.

Таким образом, элемент 9 оказался обратным сам себе 9^-1=9.

Если а – примитивный корень по простому модулю р, то каждый ненулевой элемент поля может быть единственным образом представлен в виде, где. Числоm называется дискретным логарифмом элемента b по основанию а. Дискретный логарифм является функцией, обратной по отношению к функции возведения в степень.

Есть, однако, существенная разница между двумя функциями с вычислительной точки зрения. Для вычисления а^m достаточно сделать не более умножений, т.е. трудоёмкость пропорциональна числу десятичных знаков числаm. Пусть, например, требуется вычислить а⁵³. Вместо того, чтобы делать 52 умножения, поступим следующим образом. Представим число 53 в двоичной записи 53=2⁵+2⁴+2²+1 и возведём в степень по формуле

,

которая требует всего лишь 5+3=8 умножений.

Для дискретного логарифма подобного эффективного приёма не известно, и его вычисление представляет собой трудную задачу, которая оказывается не под силу даже современным компьютерам, если р- число с более чем 200 десятичными знаками.

Другая алгоритмически трудная задача в теории чисел – это разложение числа на простые множители. Существуют эффективные методы проверки числа на простоту, полиномиальной трудоёмкости от длины записи числа в позиционной системе счисления. Однако, если число оказывается не простым, то найти его разложение на простые множители может оказаться невозможным даже с помощью самого мощного современного компьютера, если это число с более чем 200 десятичными знаками. Эффективного алгоритма для решения этой задачи не известно, хотя и не доказано, что его не существует. Положение не улучшается даже в том случае, когда известно, что число разлагается на два простых множителя.

На алгоритмической трудности задач нахождения дискретного логарифма и разложения на множители и основана современная криптография, позволяющая избежать процедуры предварительного обмена ключом.

Современная криптография. Рассмотрим две известные криптографические системы, позволяющие избежать предварительного распространения ключа – это система с открытым распространением ключа и система с открытым ключом. В системе с открытым распространением ключа два корреспондента вырабатывают общий секретный ключ, пользуясь открытым каналом связи. При этом третье лицо, перехватывая все общения по данному каналу, тем не менее не в состоянии получить ключ. Это «чудо», предложенное Диффи и Хеллменом, основано на алгоритмической сложности вычисления дискретного логарифма.

В системе с открытым ключом каждый пользователь имеет два собственных ключа: открытый для зашифровывания и секретный- для расшифровывания. Ключ для зашифровывания помещается в открытый файл и любой, желающий отправить секретное сообщение данному лицу, может им воспользоваться. Расшифровать же данное сообщение способно только само лицо, т.к. лишь оно имеет ключ для расшифровывания. Хотя, в принципе, найти ключ для зашифровывания возможно, алгоритмическая трудность этой задачи не позволяет решить её в приемлемое время. Среди систем с открытым ключом наибольшее распространение получила система RSA, названная так в честь своих создателей (Rivest, Shamir, Adleman, 1978). Система RSA основана на алгоритмической трудности разложения числа на простые множители.

Опишем сначала систему Диффи и Хеллмана с открытым распространением ключа. Группа пользователей помещает в открытый файл простой модуль р (очень большое число) и примитивный корень  поля . Затем каждый пользователь выбирает число, которое хранит в секрете, вычисляети помещаетв открытый файл. Если пользователиi и j хотят обменяться сообщениями, они используют в качестве ключа . Пользовательi берёт из открытого файла и вычисляет. Пользователь j берёт y_i из открытого файла и вычисляет.

Двоичная запись ключа может быть теперь использована двумя пользователями в качестве двоичной ленты для побитового сложения с сообщением.

Перехватчик, зная y_i и y_j, может, в принципе, найти х_i и x_j и получить ключ , но алгоритмическая трудность вычисления дискретного логарифма не позволяет сделать это в приемлемое время. Если же эффективный алгоритм для вычисления дискретного логарифма будет найден, то эта криптографическая система рухнет.

Обратимся теперь к системе RSA. Каждый пользователь выбирает два больших простых числа и, которые хранит в секрете, и находит. Функция Эйлера. Затем пользователь выбирает, взаимно простое с, и находит ему обратное по модулю, т.е. такое, что. Пользователь помещаетив открытый файл, ахранит в секрете.

Кодовым алфавитом в системе RSA является множество . Открытый текст переводится в двоичную последовательность, которая разбивается на блоки, кодируемые символами алфавита. Зашифровывание сводится к перестановке на множестве символов, расшифровывание - к обратной перестановке. Вскрытие шифра с помощью частотного анализа здесь оказывается невозможным из-за огромного объёма алфавита.

Пусть - кодовое слово открытого текста. Соответствующее слово шифротекставычисляется с помощью имеющегося в открытом файле числа

.

Обратное преобразование осуществляется с помощью хранимого пользователем в секрете числа

.

Покажем, что результатом обратного преобразования будет исходное кодовое слово открытого текста

.

Так как ,то

.

Последнее сравнение следует из Малой теоремы Ферма.

Аналогично

.

Отсюда следует, что

.

Факт существования обратного преобразования доказывает, что зашифровывающее преобразование действительно является перестановкой на множестве символов .

Не известно эффективного способа нахождения секретного расшифровывающего ключа по открытому зашифровывающему ключубез знания разложения числана простые множители. Этим и обуславливается криптографическая стойкость системыRSA.

Системы с открытым ключом типа RSA, наряду с несомненным удобством для пользователей, обладают, на первый взгляд, и существенным недостатком. А именно, каждый может воспользоваться открытым ключом определенного лица и от его имени послать зашифрованное сообщение. Если банк получает по электронной почте от своего клиента зашифрованное сообщение с распоряжением, касающимся управления финансовым вкладом клиента, то он должен быть уверен в подлинности авторства сообщения при осуществлении с вкладом требуемых операций. В случае письменного распоряжения его аутентичность подтверждается личной подписью клиента. Подобное подтверждение в случае распоряжения, посланного по электронному каналу связи, называется электронной подписью.

В системе RSA проблема электронной подписи может быть решена просто. Пусть – открытый зашифровывающий ключ банка,- открытый зашифровывающий ключ клиента, аисоответственно – их секретные расшифровывающие ключи. Для доказательства аутентичности клиенту достаточно зашифровать открытый текст М с помощью оператора, что дает шифротекст

,

а банку для расшифровывания следует воспользоваться оператором . Так каки, а такжеи- пары взаимно обратных операторов, то

.

Этим приемом в системе RSA может быть обеспечена как секретность, так и аутентичность. Подтверждением аутентичности служит зашифровывающий оператор , в состав которого входит оператор, являющийся личным секретом клиента.

Тест

1. Что такое «ключ»? а) Алгоритм зашифровывания; б) Алгоритм расшифровывания; в) Сменный элемент шифра, обеспечивающий поддержание секретности.

2. Совпадают ли зашифровывающий и расшифровывающий ключи? а) Совпадают; б) Не совпадают; в) Не совпадают в системе с открытым ключом.

3. Что обуславливает криптографическую стойкость системы RSA? а) Трудность нахождения дискретного логарифма; б) Трудность разложения на множители; в) Трудность нахождения обратного элемента в мультипликативной группе кольца .

Итоговый тест

1. Сколько подмножеств у n – мерного множества? а); б); в).

2. Чему равна мощность прямого произведения n – мерного и m – элементного множеств? а) ; б); в).

3. Cколько m – элементных подмножеств у n – элементного множества? а) ; б); в).

4. Сколькими способами можно рассадить n человек за круглым столом? (Два способа считаются одинаковыми, если каждый имеет тех же двух соседей, неважно с какой стороны). а) ; б); в).

5. Цикл называется гамильтоновым, если он а) проходит через каждое ребро; б) проходит через каждую вершину; в) через каждую вершину проходит один раз.

6. Алгоритм в дискретной математике считается эффективным, если а) всегда приводит к решению; б) может быть реализован на компьютере; в) имеет полиномиальную от размерности задачи трудоемкость.

7. Чему равно минимальное расстояние между кодовыми словами линейного кода? а) минимальному числу единиц нулевого кодового слова; б) числу строк порождающей матрицы; в) числу строк проверочной матрицы.

8. Число кодовых слов у кода с порождающей матрицей равно а); б); в).

9. Что обеспечивает криптографическую стойкость системы с открытым распространением ключа? а)трудность нахождения дискретного логарифма; б)трудоемкость разложения на множители; в)трудоемкость нахождения обратного элемента в мультипликативной группе кольца .

10. Почему в современных криптографических системах типа RSA невозможно вскрытие шифра с помощью частотного анализа? а) из – за объема необходимых вычислений; б) из – за трудностей программирования; в) большая длина участков открытого текста, зашифровываемая одним блоком, практически исключает повторяемость блоков шифротекста.