Табличное определение логических связок

	А	оценки формулы А
л	и	 1
и	л	2

оценки формул	А	В	АВ	АВ	АВ	АВ	АВ
 1	и	и	и	и	и	и	л
2	и	л	л	и	л	л	и
3	л	и	л	и	и	л	и
4	л	л	л	л	и	и	л

–строгая дизъюнкция, АВ читается «либо А, либо В». Нестрогая дизъюнкция () – неисключающая, структура вида АВ понимается «верно А или В (или и то и другое)».

Т

и



л

Обратите внимание: выше логическими связками соединялись символы А и В, – но среди исходных нетсимволов А и В. Мыслилось, что за каждым из них стоитпроизвольнаяформула изучаемого языка (ЯКЛВ). Когда вводят обозначения для производных формул (А, В, С и т.д. или, например,φ, ψ, φ₁⁸ и т.д.) говорят осхемах формул. Так, выражение А&В имеет в виду любую формулу, в которой главный знак – конъюнкция, например,p&(q⊃r),q&r, (s≡(p&(q⊃r)))& (s₁s₂). О произвольных формулах ЯКЛВ мы не можем говорить на этом языке: в этом языке у нас нет возможности выразить информацию «любой», «произвольный». В языке КЛВ мы не можем сказать, что некоторое высказывание (формула) истинна или ложна и еще много чего «не можем». Высказывания о языке КЛВ формулируются в другом – более богатом – языке.

объектный язык – язык, который является предметом изучения метаязык – язык, средствами которого изучается объектный язык9

Упражнения

11. Найти истинностное значение следующих высказываний

1. ⁺ Москва – столица России, а Рим – столица Греции.

2. Москва – столица России, или Рим – столица Дании.

3. Если 11 делится на 3, то 11 делится на 6.

4. Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6.

5. 11 делится на 3 тогда и только тогда, когда 15 делится на 6.

6. Если Майк Тайсон негр, то все негры.

7. Если Петр I– негр, то все негры.

Поясним теперь, о каком недостатке шла речь выше, когда было сказано, что некоторыепредложения видаЕсли А, то В,А только если В,А необходимое/достаточное условие для Вбудут истинными с точки зрения построенной логической системы, но их будет трудно назвать истинными с точки зрения здравого смысла.

Рассмотрим предложение

(_*)Если население Москвы больше миллиона, то в Африке обитают бегемоты.

Население Москвы больше миллиона – истина.

В Африке обитают бегемоты– истина.

По определению импликации, если и А, и В истинны, предложению структуры А В приписывается значение «истинно», значит высказывание (_*) – истинно. Далее, АВ можно прочесть как (1) В есть необходимое условие для А, т.е. наличие бегемотов в Африке является необходимым условием для того, чтобы население в Москве было больше миллиона, а также как (2) А есть достаточное условие для В, т.е. тот факт, что в Москве живет такое-то число людей, гарантирует, что в Африке мы найдем гиппопотамов. Этот пример (вы понимаете, что можно привести сколько угодно аналогичных) показывает, что введенная связка не вполне соответствует тому, что мы подразумеваем, говоряесли – то,необходимое условие,достаточное условиеи т.д. Такие «издержки» связаны с тем, что когда в логике высказываний мы переходим от структуры предложений к конкретным предложениям, никаких ограничений на подставляемые предложения не вводится и вместо А и В в АВ, АВ, АВ и т.д. можно в принципе подставлять любые предложения. (Можно ввести ограничение: пусть А и В будут связаны по содержанию, но это сложнейшая задача – смоделировать содержательную связь между высказываниями, оперируя только их структурной информацией.) Затем, классическая логика при определении смысла условной связи исходит из требования-минимума: блокируется только случай, когда из истины следует ложь. Ситуации, когда интуитивно предложение с условной связью ложно, а в нашей теории оно истинно, мы не получим. Наконец заметим, что всякая теориямоделируетобъект исследования и не может отобразить все свойства: с какими-то свойствами работаем, что-то (важное для решения тех или иных задач) принимаем в расчет, от чего-то абстрагируемся.

12. Найдите значение формулы (ØрÉq) & (ØqÉØr) при следующих оценках:

а) ⁺ ϕ₁(р) = И,ϕ₁(q) = И,ϕ₁(r) = Л;

ϕ₁((ØрÉq) & (ØqÉØr)) = …

б) ϕ₂(р) = Л,ϕ₂(q) = Л,ϕ₂(r) = Л;

ϕ₂((ØрÉq) & (ØqÉØr)) = …

Можно ли на основании значений данной конъюнктивной формулы при ϕ₁иϕ₂сделать вывод о её логическом статусе (см. ниже о логическом статусе формул)?

Определения, пояснения и примеры