О. И. Невдобенко¹

Введение в формальную логику

Учебное пособие

Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы

Глава 3

Классическая логика высказываний

В этой главе изучаются структуры предложений с точностью до простых предложений, т.е. внутренняя структура простых предложений не рассматривается и параметры вводятся только для простых предложений. Учитываются только способы соединения простых предложений. Представление структур предложений необходимо для решения, как минимум, двух задач.

Во-первых, логические формы предложений будут специфицированы: среди всех возможных структур предложений будут выделены те, которые порождают только истинные предложения (законы логики), те, которым соответствуют только ложные, и те, которым соответствуют как истинные, так и ложные предложения.

Второе применение структур предложений связано с изучением элементарного логического действия – шага вывода. Для того чтобы определить, является ли умозаключение логически правильным (следует ли из информации посылок информация заключения), необходимо проанализировать его структуру, а для этого надо представить структуры (предложений-) посылок и (предложения-)заключения.

Тема 1: Язык классической логики высказываний (яклв)

Основные понятия, которые необходимо усвоить: формализованные языки (их основные отличия от естественных языков) логические и нелогические символы ЯКЛВ правильно построенное (осмысленное) выражение теории КЛВ (формула ЯКЛВ) местность логических связок подформула главный знак формулы нагруженное дерево формулы объектный язык и метаязык

Определения и примеры

Структуры языковых выражений формализованных языков могут строиться только из символов, перечисляемых в алфавите, в частности это относится и к языку первой из изучаемых здесь логических теорий. Исходные символы языка КЛВ делятся на три группы: те, которые несут логическую информацию; те, которым соответствует нелогическая информация; наконец, вспомогательные символы, указывающие на порядок построения выражения.

Алфавит ЯКЛВ (перечень исходных символов)

1. Нелогические символы:

p,q,r,s,p₁,q₁,r₁,s₁,p₂… (и т.д.), –

называются пропозициональные (или высказывательные) переменные².

2. Логические символы:

, ,,,,,Т.

3. Технические символы: левая и правая скобки – ( , ).

Еще раз: из этих символов (и только из них) строятся в логике высказываний структуры предложений естественного языка.

Логические символы (за исключением двух) вводились как аналоги некоторых выражений естественного языка. В нижеследующей таблице, дающей краткое предварительное ознакомление с введенными логическими символами, в скобках указаны другие распространенные способы обозначений соответствующих связок (но не все).

символ	название	приблизительное соответствие в естественном языке
 (~, ¯)	отрицание	"неверно что", "ложно", "не имеет места"
 ()	конъюнкция	соединительное "и", союзы "а", "но", выражения "а также", "как … так и…"
	дизъюнкция	"или", "либо"
 (,)	импликация	отношение следования, условная связь "если … то…"
 (,)	эквиваленция	"если и только если", "тогда и только тогда когда", "эквивалентно", "равносильно"
 (0)	константа лжи	нет соответствий
Т (1)	константа истины	нет соответствий

Хотя константам истины и лжи ничего не соответствует в естественном языке (нет предложений такой структуры), их введение имеет ряд достоинств.

Формула ЯКЛВ (структура предложения естественного языка):

1. всякая пропозициональная переменная (p,q,r,s,p₁,q₁,r₁,s₁,p₂…) является формулой;

2. символы ,Т являются формулами;

3. если последовательность символов А является формулой, то последовательность символов А также есть формула;

4. если последовательности символов А и В являются формулами, тогда следующие последовательности символов также формулы: (АВ), (АВ), (АВ), (АВ);

5. формулой является только последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.

Примеры формул

1. р – по п.1 определения формул

2. s₁₁₂– по п.1

3. Т– формула по п.2

4. р – по пп.1 и 3 (р – формула, отрицание любой формулы – также формула)

5. р – формула по пп.1,3 (р – формула, отрицание любой формулы – также формула, поэтому р – формула; разр – формула и отрицание любой формулы – в частности этой – опять дает нам формулу, то ир – формула, наконец еще раз применяем п.2 определения формулы и получаемр)

6. (s&q) – формула по пп.1,4

7. ((s&q)&) - формула по пп.1,2,4

Договоренность об опускании внешних скобокВ дальнейшем внешние скобки (первую открывающуюся и последнюю закрывающуюся) будем опускать (это не приведет к неоднозначностям в прочтении формул). Так, например, формулы ((s&q)&), ((rq)s), ((ss)(rr)) в соответствии с этой договоренностью будем записывать (s&q)&, (rq)s, (ss)(rr).

Примеры формул (продолжение)

8. (s&q)р

9. ((s&q)р)r

10. ((s&q)р) ((rr₂)r₁)

Местность связок

Логические связки характеризуются с точки зрения местности. Местность логической связки – количество формул, которое нужно присоединить к ней, чтобы получить формулу.

 – одноместная(унарная) связка.

, ,,–двухместные(бинарные) связки.

, Т –нульместныесвязки (сколько нужно иметь в распоряжении формул, чтобы превратить записьв формулу (достроить ее до формулы)? Ответ – нисколько, или – 0, т.к. записьуже является формулой, в отличие от &, например.)

Примеры последовательностей символов, не являющиеся формулами(т.е. с точки зрения данного языка – неосмысленные, не являющиеся структурами предложений)

1.(р) – ошибка: в скобки заключаем только формулы, содержащие бинарные связки (,,,)

2. (r) – та же ошибка

3. () – та же ошибка

4. rq– ошибка:двеформулы (в данном случаеrиq) должны быть соединены какой-тодвухместнойсвязкой

5. rq– аналогичная ошибка: две формулы (в данном случаеrиq) должны быть соединены какой-тодвухместнойсвязкой (rиqне могут быть связаны отрицанием –, так как это одноместная связка)

6. rq– ошибка: слева и справа от любой двухместной связки, в частности импликации, должны стоять формулы, слева от импликации вообще ничего нет (справа ситуация, в общем-то, не лучше, поскольку послестоит неосмысленная последовательность символов (= не формула))

7.qs– аналогичная ошибка: слева и справа от любой двухместной связки, в частности дизъюнкции (), должны стоять формулы, но слева от первой (слева) дизъюнкции вообще ничего нет (аналогия с записями в алгебре: следующие записи очевидно неосмысленны:ab, :a:b, – здесь тип синтаксической ошибки тот же, что и вqs)³

8. (r,q) – ошибка: в построенном языке не используется запятая, поэтому никакая запись с запятой не будет формулой этого языка

9. рассмотрим четыре записи: rq,rq,rq,rq– ошибка во всех четырех одна и та же: две двухместные связки не могут идтиподряд(аналогия с записями в алгебре: вы понимаете, что бессмысленно писать х+у,z-:x,x-++z, у:-х; в формулах данного примера аналогичная ошибка).

О скобках

Скобки в формулах построенного языка выполняют ту же роль, что и при построении алгебраических выражений: они указывают последовательность построения и вычислений. Так, вы понимаете, что в выражении (10-(9-8)) сначала вычисляется значение (9-8), а затем значение всего выражения, а в выражении ((10-9)-8) сначала вычисляется первая слева разность (10-9), а затем вторая, – порядок вычисления указан расстановкой скобок.

Рассмотрим 2 формулы: (sq) иsq. Первая утверждает: неверно, чтоsэквивалентноq(неверно, что информация предложенияsта же, что и в предложенииq); вторая: ложностьsэквивалентна истинностиq, – а это разные вещи. И разница в записи этих двух видов (структурной) информации достигается использованием скобок.

Подформула формулы А - любая формула, входящая в состав А.

Пример 1Формула:sq.

Ее подформулами являются: s,q,s,sq.

Пример 2Формула(sq).

Ее подформулами являются: s,q,sq,sq.

Пример 3Формула ((s&q)р)((rr₂)r₁).

Ее подформулы: s,q,p,р,s&q,(s&q),(s&q)р,rr₂, (rr₂)r₁, ((s&q)р)((rr₂)r₁).

Обратите внимание, что каждая формула является своей подформулой.

Главный знак формулы– последний при построении данной формулы логический символ.

Примеры. Для следующих формул их главные знаки подчеркнуты.

sq

(sq)

(s&q)р

(s&(qр))

s&(qр)

((s&q)р)  r

((s&q)р)  ((rr₂)r₁)

Главный знак в формуле играет роль аналогичную последнему вычислению (операции, значение которой вычисляется в последнюю очередь). Так, чтобы понять, какое число задает выражение 8+27², необходимо произвести три вычисления, из которых последнее – суммирование. С точки зрения построения и порядка вычисления оно является в этой записи тем, что для формул мы назвали главным знаком.

Терминология В формуле вида А&В формулы А и В называются конъюнктами. В формуле вида АВ формулы А и В называютсядизъюнктами. В формуле вида АВ формула А называетсяантецедент(импликации), а формула В –консеквент(импликации).