О. И. Невдобенко¹

Друзья! В Главе 3 учебника, помимо незначительных, была трагическая опечатка. Исправьте ее в вашем файле или распечатке. Место опечатки и исправленный вариант выделен зеленым цветом.

соответствия между записями с параметрами в естественном языке и формулами

запись с параметрами в естественном языке	формульное соответствие
А и В	A&B
И А, и В
Как А, так и В
А или В	АВ
Или А, или В (или и то, и другое)
А, либо В
А1 и А2 и … и Аn	А1&А2&… &Аn
А1 или А2 или … или Аn	А1 А2  …  Аn
Если А, то В	А  В
В, если А
А достаточное условие для В
Только если А, (верно) В	ВА или А  В
В, только если А
А необходимое условие для В
А, если и только если В А, тогда и только тогда, когда В	А  В или (А  В)(ВА)
А необходимое и достаточное условие для В
А, разве что В	 В  А

Введение в формальную логику

Учебное пособие

Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы

Глава 4

Классическая логика предикатов

Логика предикатов – логическая теория, в которой вводятся параметры трех типов для выражений естественного языка: для предикатных выражений, функторных и для логических имен. В классической логике предикатов продолжают действовать принцип двузначности классической логики высказываний: каждое высказывание принимает в точности одно из двух значений – истина(истинно) илиложь(ложно). Принцип функциональности работает для связок логики высказываний, но в логике предикатов вводятся две новые логические операции, которые не функциональны – кванторы:$и. В естественном языке символу$– квантору существования – соответствуют выражениянекоторый,какой-то,существует,найдется,какой-нибудь и т.п., а символу– квантору общности – соответствуют выражениялюбой,всякий,произвольный,все,каждыйи т.п.

Тема 1: Язык классической логики предикатов первого порядка

Основные понятия, которые необходимо усвоить: логические и нелогические символы в ЯКЛП1= язык классической логики предикатов с символом равенства = (ЯКЛП1=) логические и нелогические символы в ЯКЛП1 правильно построенные выражения ЯКЛП1: терм и формула ЯКЛП1= графы, соответствующие процедуре построения термов и формул ЯКЛП1= область действия квантора свободные и связанные переменные предложение ЯКЛП1= (замкнутая формула)

Алфавит ЯКЛП¹⁼ (перечень исходных символов)

I.Нелогические символы:

1. a,b,c,a₁,b₁,c₁,a₂… - индивидные (предметные) константы;

2. fⁿ,gⁿ,hⁿ,f₁ⁿ,g₁ⁿ,h₁ⁿ,f₂ⁿ,… - функциональные константы;

3. Pⁿ,Qⁿ,Rⁿ,Sⁿ,P₁ⁿ,Q₁ⁿ,R₁ⁿ,S₁ⁿ,P₂ⁿ… – предикатные константы;

4. x,y,z,x₁,y₁,z₁,x₂… - индивидные (предметные) константы.

II.Логические символы:

, ,,,,,Т, $,, =.

III.Технические символы: левая и правая скобки и запятая: ( ) , .

Терм ЯКЛП¹:

1. всякая индивидная константа (a,b,c,a₁,b₁,c₁,a₂ и т.д.) есть терм;

2. всякая индивидная переменная (x,y,z,x₁,y₁,z₁,x₂и т.д.) есть терм;

3. если Fⁿ есть какой-либоn-местный функциональный символ (fⁿ,gⁿ,hⁿ,f₁ⁿ,g₁ⁿи т.д.) и о последовательностях символовt₁,t₂,…,t_nизвестно, что каждый из них есть терм, тогда термом также будет такая последовательность символов:Fⁿ(t₁,t₂,…,t_n).

4. терм есть последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.

Примеры термов

1. b- по п.1

2. b₄₁₁– по п.1

3. x₁– по п.2

4. h¹(z) – по пп.2,3

5. h²(c,с) – по пп.1,3

6. h¹(h¹(z)) – по пп.2,3

7. f²(h¹(z),a) – по пп.1,2,3

8. f²(h¹(z),h²(y,z)) – по пп. 1,2,3

9. g³(h¹(h¹(а)),a, с) – по пп.1,3

Определение терма носит чисто синтаксический характер: оно задает некоторый класс записей, составленных из символов алфавита нашего языка, но не аппелирует к возможным смыслам этих записей, т.е. сами записи, подпадающие под определение терма, рассматриваются просто как последовательности некоторых объектов. Но эта дефиниция вводилась, разумеется, для того, чтобы впоследствии связать с ней осмысленные выражения некоторого типа, а именно: задающие объекты. Покажем (в предварительном порядке), как записи, имеющие вид терма, определяют структуры имен и именных форм. Так, структуру h¹(h¹(а)) имеют выражения 6²²,5, отец отца Сократа. А такую форму какf²(a,h¹(z)) имеют, например, выражения 5+z², 7-z³,+y, 5у⁴, 5sinx.

Формула ЯКЛП¹⁼:

1. ,Т – формулы;

2. если Рⁿ есть какой-либоn-местный предикатный символ (Pⁿ,Qⁿ,Rⁿ,Sⁿ,P₁ⁿи т.д.), аt₁,t₂,…,t_n– термы, тогда последовательность символов

Рⁿ(t₁,t₂,…,t_n) является формулой;

3. если t₁,t₂– термы, тогда последовательностьt₁=t₂есть формула;

4. если А – формула, тогда А тоже формула;

5. если А и В – формулы, тогда (АВ), (АВ), (АВ), (АВ) – формулы;

6. если К– квантор ($или),- индивидная переменная и А – формула, тогда следующая последовательность также является формулой:КА;

7. формулой является последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-7.

Самые простые (в смысле построения) формулы назовем атомарными.Атомарная (элементарная) формула– формула, построенная по каким-то из пунктов 1-3.

Формулы, процедура построения которых включает хотя бы один из пп.3-6 назовем составными (сложными, молекулярными).

Вместо t₁=t₂будем писатьt₁t₂.

Примеры атомарных формул



P¹(a)(читается «Р от а»; подразумеваетсяобъект а обладает свойством Р)

P¹(x)

P¹(f¹(а))(читается «Р отfот а»; подразумеваетсяобъект, сопоставленный объекту а функциейf, обладает свойством Р)

R²(x,a)(читается «Rот х, а»; подразумевается свойствонаходится в отношенииR с объектом а)

R²(y,y)

R²(y₁₁,y)

R³(f¹(c), f¹(a), a)

R³(f¹(c), f¹(a), h²(y,z))

a=b

f¹(a)= h¹(h¹(с))

f¹(a)= h¹(g²(y,z))

Примеры термов и формул

Примеры составных формул

$xP(x)

$x(P(x)&Q(x))(главный знак -)

$xP(x)&Q(x)(главный знак -)

yzQ(z,f¹(y))(главный знак – кванторy)

yzQ(z,y)(главный знак -)

xyR(x,y)yzQ(z,y) (главный знак - )

x(yR(x,y)zQ(z,x))(главный знак - кванторx)

R(x,y)Q(z,x)(главный знак -)

 (a=b  c=b) a b(главный знак -)

Примеры неправильно построенных выражений (не термы и не формулы)

1. ху. Ошибка: х и у – термы, а связка(так же, как,,), могут связывать только формулы.

2. f¹(Q¹(a)). Ошибка: после одноместного функционального символа (f¹) должен стоять один терм, а в нашем случае в скобках стоит формула -Q¹(a).

3. х у. В этой записи два неправильно построенных выражения –х,у – соединены конъюнкцией.х – неосмысленная запись, поскольку в нашем языке отрицание может относится к структуре предложения (формуле), а не к терму (х - терм). То же су.

4. P²(Q¹(a),S¹(a)). Ошибка: после символа двухместного предиката (P²) в скобках должны находиться два терма, а в нашей записи стоят две формулы (Q¹(a) иS¹(a)).

5. ∀x. Кванторы используются только при построении формулы, но в составе формулы в обязательном порядке должны присутствовать а) предикатные символы(Pⁿ,Qⁿ,Rⁿ,Sⁿ,P₁ⁿи т.д.), либо б) выделенный предикатный символ равенства, либо в) логические константы (,Т). В нашей записи их нет.

6. ∀x∃y. Слева и справа от импликации должны стоять формулы, а в примере 6 слева и справа от знакастоят не формулы, а неправильно построенные выражения (см. предыдущий пример).

7. ∀xР¹(х)∃yР¹(∃х). Плохое место: Р¹(∃х). В скобках после одноместного предиката Р¹ должен стоять аналог имени – терм, а∃х - не терм (в состав термов не входят кванторы). Если убрать из примера 7 символ квантора существования, тогда получим формулу∀xР¹(х)∃yР¹(х).

8. Р(а)=Р(с). Ошибка: символ равенства связывает термы, а в этом примере слева и справа от равенства стоят формулы.

9. $x"yR(x,y)ÉØ$y"аØR(x,а). Ошибка: запись"а невозможна, после квантора сразу должна идти переменная (x,y,z,x₁,y₁,z₁,x₂и т.д.), а не константа (а – индивидная константа)².

10. Ø$y"ØR(x,у). Ошибка: после квантора общности (") нет переменной.