7. К вопросу о расчете меридиональных напряжений

По безмоментной теории меридиональные напряжения опреде­ляются из уравнения равновесия зоны оболочки. В уравнении равновесия зо­ны оболочки (б) силы взаимодействия между оболочкой и содержащейся в ней средой рассматриваются как внешние по отношению к оболоч­ке. Уравнение равновесия зоны можно получить иным способом, рассматривая равновесие отсеченной части оболочки вместе с заключенной в ней средой. В этом случае силы взаимодействия между средой и оболочкой станут внутренними и в уравнение равновесия систе­мы оболочка-среда не войдут.

Рассмотрим более подробно этот способ, применив его для решения предыдущей задачи. При расчете сферической оболочки отсечем, как и ранее, часть ее нормальным коническим сечением с углом 2 при вер­шине и рассмотрим равновесие этой части оболочки вместе с за­ключенной в ней жидкостью, которую отделим от остальной сре­да плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Расчетная схема представлена на рис. 17.

Рис.17, Расчетная схема сферической оболочки

На жидкость в рассматриваемой части сферической оболочки действует давле­ние среды q. Величина этого давления:

. (56)

В уравнении равновесия оболочки следует учесть также вес жидко­сти, заполняющей сферический сегмент. Этот вес определяется формулой:

G =  V , (57)

где

– (58)

объём сферического сегмента.

Проектируя на ось z все силы, действующие на рассматри­ваемую зону оболочки и заключенную в ней жидкость, получим следующее уравнение

. (59)

Подставляя в уравнение (56) выражения (53) – (55), получим после несложных преобразований:

.(60)

Правая часть уравнения (60) совпадает с выражением (14) для осевой равнодействующей P_{z сф}. Следовательно, выражение для меридионального напряжения _s^*, полученное из уравнения (60), совпадет с полученным ранее выражением (15).

При расчете цилиндрической оболочки отделяем часть сосу­да вместе с жидкостью плоскостью, перпендикулярной оси враще­ния. Расчетная схема для 1 участка цилиндрической оболочки представлена на рис.18.

Рис.18. Расчетная схема цилиндрической оболочки

(1 участок)

Воздействие отброшенной части среды на жидкость, запол­няющую рассматриваемую часть сосуда, определяется давлением

. (61)

Уравнение равновесия отсеченной части сосуда с жидкостью:

, (62)

где G =  V – вес жидкости, заполняющей отсеченную часть сосуда,

– (63)

объём отсеченной части сосуда.

Из уравнения (62) находим выражение для _s^* , совпадающее с выражением (36) , полученным ранее, (убедитесь в этом самостоятельно!).

На рис.19 представлена расчетная схема второго участка цилиндрической оболочки .

Рис.19. Расчетная схема цилиндрической оболочки

(2 участок)

Величина давления q определяется выражением (61). Уравнение равновесия отсеченной части сосуда с жидкостью

, (64)

где

– (65)

вес жидкости, заполняющей отсеченную часть сосуда.

Выражение для меридионального напряжения _s^*, полученное из уравнения (64), совпадает с выражением (37) (проверьте самостоятельно!)

При расчете конической оболочки отсечем, как и ранее, часть ее нормальным коническим сечением с углом при вер­шине и рассмотрим равновесие этой части вместе с жидкостью. Расчетная схема представлена на рис.20.

Рис.20. Расчетная схема конической оболочки

Величина давления q на жидкость, заполняющую рассматри­ваемую часть оболочки, определяется выражением (22).

Уравнение равновесия отсеченной части сосуда:

, (66)

где G =  V – вес жидкости,

– (67)

объём жидкости.

Из уравнения (66) находим выражение для меридионального напряжения, которое совпадает с полученным ранее выражением (26), (проверьте самостоятельно).

33