3. Основы теории тонкостенных оболочек вращения. Постановка задачи

Нагрузка, воздействующая на оболочку, симметрична отно­сительно оси вращения. Рассматриваются следующие типы нагрузки (рис.3):

• равномерно распределенная по окружности моментная на­грузка m, Н*мм/мм;

• равномерно распределенная по окружности радиальная нагрузка Р, Н/мм;

• распределенная по площади нагрузка q, Н/мм², нормальная к поверхности оболочки.

Рис.3. Схема нагружения оболочки

Вследствие малости толщины оболочки можно полагать, что нагрузка прило­женной к срединной поверхности оболочки.

Теория тонких оболочек строится на следующих основных рабочих гипотезах, позволяющих получить достаточно простое решение задачи, (гипотезы Кирхгофа-Лява).

1. Прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к ее срединной поверхности до деформации, остаются после дефор­мации изгиба также прямолинейными и перпендикулярными к изогнутой срединной поверхности, сохраняя при этом свою длину (гипотеза прямых нормалей).

2. Нормальными напряжениями в направлении, поперечном к срединной поверхности, допустимо пренебрегать, так как она весьма малы в случае распределенной по площади нагрузки или носят узколокальный характер - создается узкая область кон­тактных напряжений, не влияющих на изгиб оболочки в целом в случае сосредоточенной нагрузки.

Помимо указанных гипотез и требования тонкостенности, предполагается, что материал оболочки однородный, изотропный, упругий и подчиняется закону Гука, Перемещения оболочки счи­таются малыми. Величина перемещений соизмерима с толщиной оболочки.

4. Внутренние усилия и напряжения в оболочке

Двумя меридиональными сечениями ab и cd и двумя сече­ниями ad и bc, нормальными к меридиану, выделим из оболочки элемент abcd (рис.4).

Рис.4. Напряжения в оболочке

На гранях элемента возникают меридиональные нормальные напряжения _s и кольцевые нормальные напряжения _t. Кроме того, в нормальных сечениях аd и bс развиваются также ка­сательные напряжения . Нормальные напряжения _s и _t складываются из напряжения растяжения, равномерно распределенных по толщине оболочки, и напряжений изгиба, распределенных по толщине оболочки по линейному закону и обращающихся в нуль в точках срединной поверхности (рис.5).

Рис.5. Распределение напряжений по толщине оболочки

При линейном распределении напряжений по толщине оболоч­ки расчет удобно вести по статическим эквивалентам внутренних сил. Статическими эквивалентами нормальных сил, приходящихся на единицу длины нормальных сечений, являются:

• нормальное меридиональное усилие N_s, Н/мм;

• нормальное кольцевое усилие N_t , Н/мм;

• меридиональный изгибающий момент М_s, Н*мм/мм;

• кольцевой изгибающий момент М_t , Н*мм/мм.

Нормальные напряжения связаны с усилиями и моментами следующими соотношениями:

, ,

, , (2)

,

где y – расстояние от рассматриваемой точки до срединной по­верхности оболочки.

Статическими эквивалентами касательных сил, действующих в сечениях ad и bc и приходящихся на единицу их длины, являются поперечные усилия Q. Эти усилия учитываются в уравне­ниях равновесия элемента оболочки. Но сдвиговые деформации, связанные с существованием касательных напряжений, не учиты­ваются, и, таким образом, поперечные усилия Q рассматрива­ются только как статический фактор. Учет сдвиговых деформа­ций привел бы к противоречию с первой гипотезой Кирхгофа.

Полная система внутренних усилий, возникающих в оболоч­ке при осесимметричном нагружении, представлена на рис.6.

Рис.6. Внутренние усилия в оболочке