6. Пример расчета сосуда по безмоментной теории

Выполним расчет сосуда, со­стоящего из участков сферической, цилиндрической и конической оболочек (рис.10), по безмоментной теории.

Рис.10. Расчетная схема сосуда

Геометрические размеры сосуда известны. Заданы также модуль упругостиЕ и коэф­фициент Пуассона  материала сосуда. Сосуд заполнен жидкостью с плотностью . Жидкость находится под давлением p.

Если пренебречь весом сосуда, то реакция кольцевой опоры будет численно равна весу жидкости, заключенной в сосуде:

, (9)

где – удельный вес жидкости, V – объём сосуда.

Расчет сосуда производим по отдельным его элементам.

6.1. Сферическая оболочка

Сферическая оболочка нагружена давлением

,(10)

переменным вдоль дуги меридиана.

Главные радиусы кривизны сферической оболочки:

, (11)

радиус параллельного круга

. (12)

Нормальным коническим сечением с углом 2φ при вершине выделим часть сферической оболочки, как показано на рис. 11.

Рис.11. Расчетная схема сферической оболочки

Уравнение равновесия отсеченной части оболочки:

. (13)

Осевую равнодействующую внешней нагрузки на рассматриваемую часть оболочки находим по выражению (5), переходя к интегрированию по переменной :

==

= . (14)

Подставляя полученное выражение для в уравнение (13), находим меридиональные напряжения в сферической оболочке:

.(15)

Подставляя значения главных радиусов кривизны (11) и вы­ражение (10) для давления q в уравнение Лапласа (3), получаем следующее соотношение:

,(16)

откуда c помощью выражения (15) находим кольцевые напряжения в сферической оболочке:

. (17)

Радиальные перемещения точек оболочки определяем по фор­муле (7) с использованием выражений (15) и (17)

.(18)

Формулу для определения углов поворота нормали к оболоч­ке получим, подставляя соотношение (16) в выражение (8):

. (19)

6.2. Коническая оболочка

Главные радиусы кривизны конической оболочки:

, . (20)

При расчете конической оболочки удобно ввести параметр x, определяющий расстояние исследуемого сечения от вершины конуса по образующей (см. рис. 10).

Рис.12. Расчетная схема конической оболочки.

Радиус параллельного круга и второй главный радиус кривизны конической оболочки выража­ются через параметр х очевидными соотношениями:

,

.(21)

Внешняя нагрузка изменяется вдоль образующей конуса по закону:

.(22)

Кольцевые напряжения в оболочке находим из уравнения Лапласа:

.(23)

Меридиональные напряжения находим из уравнения равнове­сия зоны оболочки, отсеченной нормальным коническим сечением c углом при вершине, (рис.12):

.(24)

Осевую равнодействующую внешней нагрузки на отсеченную часть оболочки, ограниченную параллельным кругом r = x sin  (рис. 12), находим по выражению (5), переходя к ин­тегрированию по переменной х и принимая во внимание, что cos  = sin :

.(25)

Подставляя полученное выражение в уравнение (24) находим меридиональные напряжения в оболочке:

.(26)

Радиальные перемещения точек оболочки находим по формуле (7):

,(27)

где и определяются выражениями (23) и (26).

Угол поворота нормали к оболочке определяем по формуле (8), используя выражения (23) и (26):

.(28)