6.3. Цилиндрическая оболочка

Цилиндрическая оболочка нагружена переменным давлением

.(29)

Координата z изменяется в пределах

.

Главные радиусы кривизны цилиндрической оболочки

,.(30)

Радиус параллельного круга

.(31)

При определении меридиональных напряжений следует учесть, что цилиндрическая оболочка имеет в данном случае два участка нагружения (рис.10):

1 участок: от сферической крышки до кольцевой опоры

;

2 участок: от кольцевой опоры до конического днища

.

Расчетная схема для 1 участка цилиндрической оболочки представлена на рис.13.

Рис.13. Расчетная схема цилиндрической оболочки

(1 участок)

Уравнение равновесия рассматриваемой части сосуда:

.(32)

Осевую равнодействующую сил давления среда на сфериче­скую крышку сосуда можно определить из выражения (14) пола­гая в нем  = ₀

. (33)

Расчетная схема для 2 участка цилиндрической оболочки представлена на рис.14.

Уравнение равновесия рассматриваемой части сосуда:

, (34)

где – осевая равнодействующая сил давления среды на коническое днище сосуда.

Рис.14. Расчетная схема цилиндрической оболочки

(2 участок).

Величину осевой равнодействующей можно определить из выражения (25), полагая в нем x = x₀:

.(35)

В результате из уравнений равновесия (32) и (34) получаем следующие формулы для определения меридиональных напряжений в цилиндрической оболочке:

- на 1 участке:

;(36)

- на 2 участке:

.(37)

Кольцевые напряжения в оболочке находим, подставляя зна­чения главных радиусов кривизны цилиндрической оболочки и выражение (29) для давления q в уравнение Лапласа (3). В результате получим следующую формулу:

,(38)

общую для 1 и 2 участков оболочки.

Радиальные перемещения точек цилиндрической оболочки опре­деляем по формуле (7):

В результате получим следующие формулы для расчета радиальных перемещений точек цилиндрических оболочек:

- на первом участке:

; (39)

- на втором участке:

. (40)

Угол поворота нормали к оболочке определяем по формуле (8):

.(41)

Численный расчет выполним для следующих значений пара­метров сосуда и нагрузки:

r₀ = 500 мм,  ₀ = 60, p = 0,1 МПа,

L = 7000 мм,  = 45,  =1020 кг/м³,

l = 3500 мм, E = 210⁵ МПа,  = 0,3

h₁ = h₂ = h₃ = 10 мм.

Очевидно, что

707 мм,

577 мм,

 = g = 10^-5 Н/мм³ .

Подставляя значения параметров в выражения для напряже­ний и перемещений, получаем следующие расчетные формулы для элементов сосуда:

– для сферической оболочки:

, (42)

, (43)

, (44)

. (45)

– для цилиндрической оболочки:

на первом участке, (46)

на втором участке; (47)

, (48)

на первом участке, (49)

на втором участке; (50)

; (51)

– для конической оболочки:

, (52)

, (53)

, (54)

. (55)

Результаты расчета сводим в табл. 1

Таблица 1

Результаты расчета сосуда по безмоментной теории

Элемент сосуда	Координата точки		Расчетные величины
			s*, МПа	t*, МПа	*103, мм	*106, рад
Сферическая оболочка		0	289	289	0	0
		30	290	290	2,96	0,83
		60	292	292	5,35	1,44
Цилиндрическая оболочка	z, мм	289	253	515	11,0	1,25
		3789 -0	253	690	15,3	1,25
		3789 +0	436	690	14,0	1,25
		7289	436	865	18,3	1,25
Коническая оболочка	x, мм	707	617	1220	25,9	-89,4
		350	308	615	6,45	-45,4
		0	0	0	0	0

По результатам расчета строим эпюры меридиональных и кольцевых напряжений, радиальных и угловых перемещений для элементов сосуда, руководствуясь при этом известными из кур­са математического анализа правилами построения графиков кривых по их уравнениям.

На рис.15 показано распределение меридиональных и коль­цевых напряжений в элементах сосуда. На рис.16 представлены эпюры радиальных и угловых перемещений.

Рис.15. Графики меридиональных и кольцевых напряжений

в элементах сосуда

Рис.16. Графики радиальных и угловых перемещений

элементов сосуда

Анализ полученных результатов приводит нас к выводу, что безмоментная теория не дает удовлетворительного решения зада­чи о расчете сосудов, состоящих из оболочек различной геомет­рической формы. Этот вывод следует из того, что в точках со­пряжения элементов сосуда расчет по безмоментной теории дает нам скачки величин радиальных и угловых перемещений, 45а это противоречит условию неразрывности конструкции.

Полученные результаты справедливы для участков сосуда, на­ходящихся на некотором удалении от точек сопряжения. В узких зонах элементов сосуда, примыкающих к точкам сопряжения, а также к кольцевой опоре, возникает моментное напряженное со­стояние, которое носит название краевого эффекта. Исследова­ние напряженно-деформированного состояния в зонах краевого эффекта необходимо выполнять методами моментной теории оболочек.

Необходимо отметить, что вершина конической оболочки является особой точкой (в окрестности вершины, в частности, нарушается условие тонкостенности оболочки). Исследование напряженно-деформированного состояния зона оболочки, примы­кающей к вершине, следует проводить особыми методами.