6.Способы уменьшения систематических погрешностей

Соблюдение и поддержание постоянными внешних условий измерений, включая уменьшение внешних воздействующих факторов: нагрева, электрических и магнитных полей, радиопомех и других непреднамеренных излучений, влажности, статических, механических напряжений и т.п.

Если в качестве средства измерений применяется измерительный прибор, то бывает полезно произвести сравнение измеряемой ФВ с более точной мерой этой же величины, используя измерительный прибор в качестве компаратора.

Индивидуальная градуировка измерительного прибора - по существу это сравнение с более точной мерой, однако в приборе "запоминаются" более точные значения меры на более длительный срок.

Метод противоположного влияния или компенсации погрешности по знаку. При этом выполняют два измерения, изменяя процедуру таким образом, чтобы предполагаемая погрешность имела другой знак.

Введение поправки, значение которой получено расчетом. Для реализации этого метода необходимо разработать физическую модель измерительного эксперимента, выполняемого методом косвенных измерений, или измерительного прибора. На основе физической модели составляется математическая модель, часто эта модель называется уравнением измерения (формулой измерения) y = y(x₁, x₂, ..., x_n). Это уравнение связывает значение искомой ФВ (функцию y) с результатами прямых измерений величин x_i - аргументов, получаемых при прямых измерениях. Значение систематической погрешности и, следовательно, поправки определяют как полный дифференциал функции y на основе известных дифференциалов аргументов, то есть на основе систематических погрешностей прямых измерений

. (1.2)

Если известны абсолютные значения и знаки Δx_i, то можно определить знак и численное значение Δy и ввести соответствующую поправку. Производные называют коэффициентами влияния, а величины- частными составляющими погрешности.

Иногда неизвестны ни численные значения Δx_i, ни их знаки, а известны только границы неисключенных систематических погрешностей прямых измерений. В этом случае границы систематической погрешности результата косвенного измерения Δ_с определяются формулой:

. (1.3)

Однако поправка в результат измерений не может быть введена.

Перевод систематической погрешности в случайную. Этот метод применим, когда имеется источник систематической погрешности, значение которой может изменяться случайным образом при повторении измерений.

7.Случайные погрешности измерений. Свойства случайных погрешностей. Способы оценивания и выражения случайных погрешностей

Случайная погрешность - это составляющая погрешности результата измерений, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений, проведенных с одинаковой тщательностью, одного и того же размера ФВ. Отметим следующие существенные стороны данного определения.

1. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы и всегда присутствуют в результатах измерений.

2. Случайные погрешности - это погрешности, в появлении которых нет закономерности, кроме той, что предсказать конкретное значение их в конкретном результате невозможно.

3. Выявить наличие случайных погрешностей и их значения можно только выполняя повторные измерения, то есть производя ряд измерений.

Имеются два фундаментальных положения, подтвержденных практи­кой:

- при большом числе измерений случайные погрешности одинакового значения, но разного знака встречаются одинаково часто;

- бóльшие (по абсолютному значению) погрешности встречаются реже, чем малые.

При увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из ряда измерений, уменьшается вследствие того, что сумма погрешностей отдельных измерений данной серии стремится к нулю, то есть

. (1.4)

Несколько способов выражения случайной погрешности.

Размах результатов измерений R_n - одна из наиболее простых оценок рассеяния результатов единичных измерений ФВ, образующих ряд (выборку из n измерений), вычисляемая по формуле R_n = x_max – x_min, где x_max и x_min - наибольшее и наименьшее значения ФВ в данном ряду измерений. Средняя квадратическая погрешность (СКП) единичного измерения (однократного измерения в ряду равноточных многократных измерений) - ­обобщенная характеристика рассеяния результатов, полученных в ряду независимых равноточных измерений одной и той же ФВ, вследствие влияния случайных погрешностей, вычисляемая по формуле:

, (1.5)

где S - средняя квадратическая погрешность единичного результата измерений, входящего в ряд из n измерений; x_i - результат отдельного измерения в ряду измерений;

- среднее арифметическое из результатов n измерений.

Средняя квадратическая погрешность является важнейшей для оценки достоверности результатов. Рассмотрим некоторые ее свойства, вытекающие из признания того, что со случайными погрешностями можно обращаться как со случайными величинами и использовать математический аппарат теории вероятностей и математической статистики.

1. Средняя квадратическая погрешность является эффективной оценкой погрешности измерений, то есть математическое ожидание величины (S – σ)² минимально.

2. Существует параметр рассеяния σ, который присущ генеральной совокупности результатов измерений при числе измерений n → . Значение СКП S, найденное по выборке конечного объема, является приближенным значением для σ, причем . В эксперименте с выборкой конечного объема определяют не σ, аS, но найденное значение S является эффективной оценкой для σ.

3. Для случаев, когда для большей надежности получения удовлетворительного результата выполняют k рядов равноточных рядов измерений, формула для вычисления СКП единичного измерения из всех рядов имеет вид

, (1.6)

где - сумма сумм квадратов отклонений от средних значений в m рядах;

n - число измерений в ряду; N - общее число измерений во всех рядах; m - число рядов.

4. В практике при ограниченном числе измерений часто необходимо знать погрешность, с которой определяется значение СКП. В этом случае для нормального закона распределений (распределения Гаусса) применяются формулы:

; (1.7)

, (1.8)

где ΔS и ΔS_m - соответственно средние квадратические погрешности определения S и S_m.

5. Средняя квадратическая погрешность результата косвенных измерений величины, выражаемой функцией φ измеряемых величин x₁, x₂, ..., x_n, вычисляется по формуле:

, (1.9)

где S₁, S₂, ..., S_n - СКП результатов величин x₁, x₂, ..., x_n.

Если сделан ряд измерений и результатом измерения считается среднее арифметическое значение n результатов единичных измерений , то интерес представляет погрешность, в том числе и СКП, среднего арифметического - . В отличие от СКП единичного измерения, которую еще называют СКП ряда, величину называют СКП результата (имея в виду, что результат - это среднее арифметическое ряда). Средняя квадратическая погрешность результата измерений, полученного как среднее арифметическое из рядаn равноточных измерений, определяется по формуле

, (1.10)

то есть СКП среднего арифметического в раз меньше СКП единичного измерения.

Доверительный интервал погрешности результата измерений - это интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Средняя арифметическая погрешность единичного измерения (в ряду измерений) - это обобщенная характеристика рассеяния отдельных результатов равноточных независимых измерений, входящих в ряд из n измерений, вычисляемая по формуле:

, (1.11)

где r - средняя арифметическая погрешность;

- результат i-го измерения, входящего в ряд измерений;

- среднее арифметическое из n значений величины;

- абсолютное значение погрешности i-го измерения.

В заключение приведем соотношения, связывающие СКП с размахом и средней арифметической погрешностью.

. (1.13)

Связь СКП с размахом можно выразить приближенной формулой

, (1.14)

которая с достаточной для технических измерений точностью справедлива при n < 10. Более точно можно записать:

, (1.15)

где С зависит от числа измерений и определяется из таблицы:

n	5	10	20	30	100
C	2,3	3,1	3,7	4,1	5,0

Точность результата измерений - это характеристика качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности его результата. «Точность» - термин распространенный, особенно, в повседневном техническом языке. Он отражает некоторое обобщенное образное представление о результате измерения. Обычно имеют в виду, что чем меньше погрешность результата, тем больше его точность.

Точность результата измерений обусловлена несколькими основными факторами:

- свойствами и качеством средств измерений;

- внешними условиями измерений;

- принятыми методами измерений;

- квалификацией операторов при ручных (неавтоматизированных) измерениях.