2.4.3 Критерий Вышнеградского

Для систем регулирования, описываемых линейным дифференциальным уравнением третьего порядка, И. А. Вышнеградский сформулировал условия, соблюдение которых соответствует устойчивости системы.

Графическое изображение условий устойчивости можно представить в координатах X, Y. Изображение в указанных координатах двух областей устойчивости (колебательной и апериодической) и области неустойчивости получило название диаграммы Вышнеградского.

Критерий Вышнеградского и его графическое изображение в виде диаграммы позволяют, не решая дифференциального уравнения третьего порядка, судить о характере переходных режимов. Кроме того, диаграмма позволяет наглядно видеть влияние параметров системы на ее динамические свойства.

Диаграмма Вышнеградского послужила в дальнейшем для подобного же рода трактовки условий устойчивости систем, любого порядка. Подробный анализ критерия Вышнеградского ясно показывает условия устойчивости, которые развиваются в последующем для систем высоких порядков.

Критерий Вышнеградского и построение диаграммы основываются на следующих соображениях.

Дифференциальному уравнению системы третьего порядка соответствует характеристическое уравнение следующего вида:

. (2.27)

Полагая

;, (2.28)

получим:

;;.(2.29)

Подставляя (6.9) в характеристическое уравнение (2.27), получим:

. (2.30)

Рассмотрим предельный случай, когда уравнение третьего порядка вида (2.27) будет иметь один действительный отрицательный корень и два комплексных корня с вещественной частью, равной нулю (что соответствует моменту перехода системы из устойчивого в неустойчивое состояние или обратно).

Допустим, что уравнение имеет корни:

; ; .

Найдем соотношения между коэффициентами уравнения, при которых это будет иметь место. При указанных значениях корней левая часть уравнения (6.7) должна разлагаться на множители:

(2.31)

Приравнивая коэффициенты слагаемых, содержащих р в одинаковых степенях в правой и левой частях уравнения (2.31), найдем, что

; ;.

Исключив из этих равенств β², найдем, что в разбираемом нами предельном случае должно удовлетворяться равенство

Для выяснения характера этой разности для непредельного случая достаточно рассмотреть любой пример. Положим, что С₃=0. Тогда характеристическое уравнение (6.7) распадается на два:

р = 0 и .

В уравнении второго порядка все корни имеют отрицательную вещественную часть, если С₁>0 и С₂>0. В этом частном случае (при С₃=0) будет иметь место следующее неравенство:

. (2.32)

Очевидно, что это неравенство должно соблюдаться и в общем случае. Следовательно, неравенство (6.12) наряду с известным, необходимым для уравнения любой степени требованием одинаковости (положительности) знаков коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием отрицательности всех вещественных частей корней характеристического уравнения третьей степени.

Это неравенство впервые было применено Вышнеградским в его работах по теории регулирования.

Полученное неравенство (6.12), определяющее устойчивость системы, после подстановки в него параметров X и Y будет иметь вид:

XY—1>0. (2.33)

Если X и Y рассматривать как прямоугольные координаты (рис. 6.6), то можно построить кривую, представляющую собой равностороннюю гиперболу АБ, определяемую уравнением XY=1. Поскольку это уравнение служит предельным для неравенства (2.32), то кривая АБ выделяет на плоскости XY (при Х>0 и Y>0) область устойчивых и область неустойчивых свободных движений системы регулирования, обозначенных на рис. 6.6 соответственно как области II (с подобластями III и IV) и I.

Очевидно, система регулирования будет иметь незатухающие гармонические колебания при XY=1, будет неустойчива при ХY<1 и будет устойчива при ХY>1.

Рассмотрим предельный случай, когда комплексные корни характеристического уравнения третьей степени превращаются в вещественные отрицательные. Обозначая вещественную часть комплексного корня через а и считая мнимую часть равной нулю, устанавливаем, что в рассматриваемом предельном случае уравнение (2.27) должно делиться на (р+α)² без остатка и, следовательно, оно разлагается на множители:

(2.34)

где — вещественный отрицательный корень уравнения (2.27).

Приравнивая коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями р в правой и левой частях уравнения (2.34), получим:

; ;.

Исключая из этих трех уравнений α и р₁ и подставляя параметры X и Y, найдем для рассматриваемого предельного случая:

. (2.35)

Полученное уравнение есть уравнение граничных кривых, делящих область II на две части (подобласти), в одной из которых все три корня характеристического уравнения — вещественные отрицательные, а в другой части такой корень один, а другие два — комплексные с отрицательной вещественной частью.

Используя соображения, аналогичные приведенным ранее для нахождения знака в неравенстве (2.33), найдем, что мнимая составляющая комплексных корней будет равна нулю и все три корня характеристического уравнения будут вещественные и отрицательные, если будет соблюдаться неравенство

. (2.36)

Пара корней будет сопряженной комплексной с отрицательной вещественной частью, если будет соблюдаться обратное неравенство:

. (2.37)

Если в координатах XY построить кривые ВГ и ВД по уравнению (2.35), как это показано на рис. 6.6, то на диаграмме Вышнеградского можно будет выделить из области II подобласть III. Для значений X и Y, лежащих внутри этой подобласти, ограниченной кривыми ВГ ВД, все три корня характеристического уравнения будут вещественными, отрицательными и разными (переходный процесс системы имеет апериодический характер).

Для значений X и Y, лежащих на самой кривой ВГД, два из трех вещественных корней будут равные, а в точке В, соответствующей X=Y=3, все три вещественных корня будут равны.

Все точки области II (после выделения из нее подобласти апериодических систем III) соответствуют системам, характеристическое уравнение которых имеет два комплексных и один вещественный корень. При этом вещественная часть комплексных корней может быть по абсолютной величине меньше или больше вещественного корня. В первом случае переходные процессы в системе — колебательные, а во втором — монотонные. Дополнительно можно выделить подобласть IV из области II на диаграмме Вышнеградского. Граница этих областей будет геометрическим местом точек, для которых вещественные части комплексных корней равны вещественному корню. Эта граница примыкает к ранее отмеченной точке В диаграммы, поскольку сформулированное выше условие в этой точке удовлетворяется.

Найдем уравнение граничной кривой.

Пусть корень уравнения (6.10) имеет в наиболее общем случае вид. При этом:

.

Подставив найденные значения, и в уравнение (2.30), получим:

.

Приравнивая порознь нулю вещественную и мнимую части уравнения, получаем:

.

Решая совместно оба уравнения относительно X и Y, находим:

;

.

Если уравнение третьей степени имеет два сопряженных комплексных корня, то третий вещественный корень равен:

.

При условии получаем:

.

Тогда найденные выше выражения для коэффициентов X и Y примут вид:

и.

Cовместное решение этих уравнений дает уравнение искомой кривой

По этому уравнению построена кривая BE на рис. 6.6 и выделена подобласть IV. Заметим еще раз, что диаграмма Вышнеградского послужила основой для ряда важных последующих работ по теории автоматического регулирования.