Avtomatizatsia_lektsii / 2_2

2.2 Статический и динамический анализ САР

Самовыравнивание и статическая характеристика объекта

Для изучения основных свойств объекта рассмотрим простой объект (рис. 10), в котором требуется поддерживать уровень жидкости X в заданных пределах (от Х_а до Х_Б). Это может быть сосуд или водоем, который наполняется атмосферными осадками (М_н). Во избежание переполнения водоема предусмотрено регулирующее воздействие М_р — расход жидкости через вентиль В, открытый на определенное проходное сечение f.

При средней расчетной нагрузке, например М_н0 = 100л/мин,

вентиль В открыт так, чтобы и начальный расход М_ро был равен 100л/мин. Начальное значение уровня при этом равно Х₀. При увеличении нагрузки, например, до М_Н1 = 104л/мин уровень начнет повышаться. При этом скорость повышения уровня

(2.7)

где С — площадь поперечного сечения сосуда.

С увеличением уровня X (высоты столба) расход жидкости через вентиль В возрастает. Как известно из гидравлики,

(2.8)

где К — коэффициент, учитывающий форму отверстия, свойства жидкости и размерность физических величин;

f — площадь проходного сечения.

Влияние изменения регулируемого параметра X на регулирующее воздействие М_р или на нагрузку М_н называют самовыравниванием. Это весьма важное свойство объекта.

В данном примере параметр X влияет только на регулирующее воздействие. На нагрузку изменение уровня здесь не влияет. Но бывают объекты и с самовыравниванием на стороне нагрузки.

При ступенчатом увеличении нагрузки до 104 л/мин уже в первую минуту в сосуде прибавится 4 л воды, уровень ее возрастет и расход через вентиль В станет больше, например 102 л/мин. В следующую минуту прибавится только 2л (104— 102л/мин) и скорость повышения уровня будет меньше [см. формулу (2.7)]. Когда высота уровня возрастет настолько, что расход через вентиль станет равным 104 л/мин, т. е. окажется равным нагрузке M_p1=M_H1, дальнейшее повышение уровня прекратится и он станет равным какому-то значению Х₁.

С увеличением ступенчатой нагрузки уровень жидкости примет более высокое установившееся значение. Зависимость установившегося значения регулируемого параметра Х_уст от величины нагрузки М_н является статической характеристикой объекта (рис. 10,б).

Для поддержания заданного уровня (см. рис. 10,а) оператор при повышении уровня X увеличит расход М_р, приоткрыв вентиль В. Так же будет действовать и автоматический регулятор (например, поплавковый регулятор уровня). Объект, обладающий самовыравниванием, действует таким же образом — с повышением уровня увеличивается расход жидкости через вентиль В. Таким образом, самовыравнивание — это, по существу, автоматический регулятор, заложенный в конструкции объекта. Нужно ли регулирование, если объект обладает самовыравниванием? Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать:

1) требуемую точность регулирования;

2) статическую характеристику объекта;

3) максимальные и минимальные значения нагрузки, возникающие при длительной эксплуатации.

В нашем примере (см. рис. 10) значения уровня Х_макс и Х_мин (при максимальной и минимальной нагрузках) выходят за допустимые значения Х_б и Х_а. Поэтому, несмотря на самовыравнивание, требуется регулирование. При частых изменениях нагрузки — лучше автоматическое.

Степень влияния регулируемого параметра X на М_р или М_н оценивают коэффициентом самовыравнивания ρ.

Коэффициентом самовыравнивания на стороне регулирующего воздействия ρ_р называют отношение ΔМ_р/ΔХ. Аналогично на стороне нагрузки: ρ_н = ΔМ_н/ΔХ. Общий коэффициент самовыравнивания

(2.9)

Для объекта на рис. 10 значение ρ=ρ_р=ΔM_Р/ΔX, так как на стороне нагрузки ρ_н=0 (изменение ΔХ на нагрузку не влияет). Иногда увеличение коэффициента самовыравнивания путем изменения конструкции объекта позволяет обойтись без регулирования.

Рассмотрим несколько объектов с различной степенью самовыравнивания (рис. 11).

При отводе жидкости из объекта центробежным насосом (рис. 11,а) самовыравнивание в объекте отсутствует, так как расход жидкости через насос М_р постоянный — не зависит от высоты уровня X. Поэтому при малейшем нарушении равенства М_р=М_н уровень начинает непрерывно повышаться или понижаться, пока сосуд не переполнится или не окажется пустым. Для объектов без самовыравнивания регулирование всегда необходимо.

Для увеличения степени самовыравнивания в объекте, показанном на рис. 10, можно по высоте сосуда сделать отверстия (рис. 11,б). Тогда с повышением уровня не только увеличится

расход через вентиль М'_Р, но и появится дополнительное регулирующее воздействие — расход через отверстия M''_р. При этом новое установившееся значение при максимальной нагрузке Х_макс будет ниже, чем в объекте без отверстий, и регулирование может не потребоваться.

Объект с полным самовыравниванием показан на рис. 11,в. Чем больше нагрузка, тем больше жидкости переливается через край, т. е. при любой нагрузке М_Р=М_Н. Начальный уровень Х₀ при этом не изменяется. Такой объект называют стабилизатором уровня. Если перелив жидкости не нарушает нормальной работы всей установки, то с точки зрения автоматизации такой объект наилучший — никакого регулирования здесь не требуется.

Холодильная камера как объект с самовыравниванием

Температура в охлаждаемой камере неравномерно распределена по объему камеры — около испарителя температура воздуха всегда ниже, чем в удаленных от него точках. Такие объекты называют объектами с распределенными параметрами. Для упрощения расчетов в большинстве случаев за регулируемый параметр можно принять среднее его значение, например температуру в середине камеры. Объект с одним регулируемым параметром называют одноемкостным. В шкафах домашних холодильников испаритель обычно отделяют от остальной емкости перегородкой, которая представляет собой тепловое сопротивление. Тогда средняя температура в морозильном отделении (у испарителя) будет значительно ниже средней температуры остальной части шкафа. Объект с двумя регулируемыми параметрами называют двухъемкостным. Холодильник, имеющий несколько камер с разными температурами, рассматривают как многоемкостный объект.

Рассмотрим холодильную камеру (рис. 12,а) с испарителем, в который непрерывно подается жидкий хладагент с постоянной температурой кипения t₀, как одноемкостный объект с регулируемым параметром t_об.

Нагрузка — теплоприток в камеру через ограждения:

(2.10)

где — коэффициент теплопередачи через ограждения;

— площадь поверхности ограждения.

Из уравнения (2.10) видно, что при постоянной температуре наружного воздуха t_H с увеличением температуры в объекте t_об, разность t_н—t_об становится меньше, т. е. нагрузка уменьшается. Следовательно, камера обладает самовыравниванием на стороне нагрузки.

Имеется самовыравнивание и на стороне регулирующего воздействия. Теплота, отводимая испарителем,

(2.11)

где — коэффициент теплопередачи испарителя;

— площадь теплопередающей поверхности.

При постоянной температуре кипения t₀ с увеличением температуры в объекте t_0б разность t_об—t₀ возрастает, и холодопроизводительность испарителя увеличивается.

График зависимости регулирующего воздействия Q_p и нагрузки Q_H от температуры объекта показан на рис. 12,б. Эти зависимости легко построить по уравнениям (2.10) и (2.11), представляющим собой уравнения прямых. Для построения прямой Q_p зададимся точкой с t_об=t₀ при этом по уравнению (2.11) Q_P=0. Через эту точку с координатами t_об=t₀ и Q_p=0 (точка 3) нужно провести прямую под углом α. Тангенс α равен коэффициенту при t_об, т. е. . В то же время , т. е. коэффициенту самовыравнивания на стороне регулирующего воздействия (по определению). Аналогично строится прямая Q_H для начальной наружной температуры t_н0. Для нее угол наклона β определяется коэффициентом самовыравнивания .

При Q_н0=Q_p0 (точка пересечения прямых) в объекте держится температура t_об0. При отклонении от этой температуры на величину Δt_об значение Q_p возрастает на ΔQ_P, а нагрузка Q_H снижается на ΔQ_H. Возникающая разность Q_p—Q_н (равная ΔQ_p+ΔQ_н) заставляет t_об вернуться в начальное положение t_oб0. Из графика видно: чем больше угол α+β, тем больше общий коэффициент самовыравнивания объекта [см. формулу (2.9)].

В данном объекте нагрузка Q_H определяется температурой наружного воздуха t_н. Этот параметр называют нагрузочным. Если принять, что нагрузка зависит только от t_н, то статическую характеристику целесообразно построить в координатах t_н, t_об (рис. 12,в). Поскольку в установившихся режимах Q_н=Q_p, то, приравняв правые части уравнений (2.10) и (2.11) и заменив произведения k_oгF_ог и k_иF_и соответствующими коэффициентами самовыравнивания ρ_н и ρ_р, получим

(2.12)

Чтобы выявить, как влияет отклонение t_н от начального значения t_н0, надо записать уравнение (2.12) для начальной точки (t_об0, t_н0) и вычесть его из (2.12). В результате получим

(2.12а)

где —коэффициент усиления объекта.

Отношение установившегося отклонения регулируемого параметра к отклонению нагрузочного параметра, выраженного в тех же единицах, что и регулируемый, называют коэффициентом усиления объекта.

Для камеры с испарителем ρ_р3ρ_н. Поэтому в уравнении (2.12а) К1/4. Следовательно, изменение температуры наружного воздуха на 8°С вызовет изменение температуры в камере на 2°С. Зная пределы изменения наружной температуры, по статической характеристике [см. уравнение 2.12а] или графику легко проверить, не выходят ли значения температуры объекта за допустимые пределы, т. е. требуется ли регулирование.

Статическую характеристику (см. рис. 12,в) можно построить и графическим методом. Прямые Q_H для различных значений t_н (t_н0, t_н1 t_н2) пересекают прямую Q_p в точках 0, 1, 2, которые и определяют установившееся значение t_об0, t_oб1 и t_об2. По этим данным строим зависимость t_об от t_н на отдельном графике (рис. 12,в).

Графическое построение целесообразно применять, когда зависимость Q_p или Q_H от регулируемого параметра имеет нелинейный характер и задана в виде экспериментального графика.