Курсовые / Свойства суспензии сферических магнитных частиц

Здесь ­­– тензор, обратный тензору , компоненты которого определяются системой уравнений

. (25)

Подставив (24) в (10) с учетом (23), получим следующее:

. (26)

Отыскиваем в виде комбинации определяющих тензорных параметров , квадратичной по , симметричной относительно перестановок индексов в первой и второй парах:

(27)

Подставляя (27) в (25) и собирая слагаемые при одинаковых тензорных комбинациях, находим неизвестные постоянные в (27) в виде

, ,

, .

С помощью (27), (28), (21), (26) находим

. (28)

Кинетические коэффициенты определяются формулами

, , ,

.

Здесь

, , ,

.

Производя вычисления по полученным формулам с сохранением членов ~ но отбрасывая ~, находим

,

, , . (29)

Выполненные расчеты отвечают полной аксиальной упорядоченности ориентации магнитных моментов. Если, наоборот, частицы ориентированы случайным образом, вязкость вырождается в скаляр:

. (30)

Вычисленная поправка сравнима с поправкой Эйнштейна при .

Для частиц железа и ртути это дает характерный размер см.

Тензор вязких напряжений в магнитной электропроводной суспензии, движущейся свободно, без воздействия внешних полей, есть

(31)

Соотношение (31) с точностью до коэффициентов тождественно известному результату для тензора вязких напряжений суспензии эллипсоидов вращения. Это естественно, поскольку в обоих случаях симметрия среды определяется вектором-направлением.

Для гидродинамического описания суспензии наряду с уравнениями

, (32)

необходимо привлечь уравнения изменения . Его можно получить, исключив в кинематическом соотношении

(33)

скорость вращения частицы с помощью уравнения баланса действующих на частицу моментов сил. Сферическая частица в потоке электропроводной жидкости испытывает ориентирующий момент

, .

Он уравновешивается моментом трения, который с учетом МГД-эффектов и с учетом соотношения (24)

,

МГД-поправка к моменту трения пропорциональна и зависит от взаимной ориентации векторов . Эта зависимость, однако мала (~10%), и можно считать

, .

Найдя из уравнения и подставляя его в (33), получим

. (34)

Сохраняя члены ~ и отбрасывая ~, имеем

.

Уравнение (34) с точностью до совпадает с уравнением динамики единичного вектора оси вращения эллипсоида.

Соотношения (31) и (34) показывают, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических намагниченных частиц в электропроводной жидкости в отсутствие внешних полей подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.

*Н.ж.– вязкая жидкость подчиняющаяся при своем течении закону вязкого трения Ньютона. Для прямолинейного ламинарного течения этот закон устанавливает наличие линейной зависимости между касательной напряжением в плоскостях соприкосновения слоев жидкости и производной от скорости течения по направлению нормали к этим плоскостям () – динамический коэффициент вязкости. В общем случае пространственного течения для Н.ж. имеет место линейная зависимость между тензорами напряжений и скоростей деформации . Свойствами Н.ж. обладают большинство жидкостей (вода, смазочное масло) и все газы. Жидкости, для которых указанные выше зависимости не являются линейными, называются неньютоновскими жидкостями. К ним относятся ряд суспензий и растворов полимеров.

**Тензор – абстрактный объект T, имеющий определенную систему компонент в каждой рассмотренной системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты изменяются по вполне определенному закону. Каждая точка n-мерного пространства задается в выбранной системе координат набором n-чисел (). Переход от одной системы координат к другой означает преобразование и выполняются следующие свойства:

1. где и – непрерывно диф-мые функции;

2. якобиан преобразования ;

Тензор ранга 0 –тензор, имеющий только одну компоненту с одним и тем же значением, во всех координатных системах является скаляром. Примеры скаляров в физике – масса, заряд. Тензор ранга 1 является вектором. Примеры векторов в трехмерном пространстве – скорость, импульс, сила, напряженность электрических и магнитных полей. Некоторые тензоры ранга 2 также имеют специальные названия в геометрии и физике, теории римановых пространств и в теории относительности, тензор напряжений и тензор деформации в механике сплошной среды и т. д.

В заключение отметим, что при расчете диссипации мы не учитывали вклад, связанный с вращением частицы, отличным от квазитвердого вращения с жидкостью. Это привело бы к возникновению перекрестных эффектов между симметричной и антисимметричной составляющими тензора скорости деформации, имеющих второй порядок малости по . Использование стационарного решения для обтекания частицы обосновано малым временем установления профиля обтекания по сравнению с макроскопическим гидродинамическим временем: .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.3 – М.:Наука, 1966;

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.:Наука, 1986;

3. Покровский В.Н. Напряженность, вязкость и оптическая анизотропия движущейся суспензии жестких эллипсоидов.// УФН. – 1971;

4. Берковский Б.М., Кашевский Б.Э., Порошин Ю.В. Магнитная частица в поле вязкой электропроводной жидкости.// Магнит. Гидродинамика. – 1987.

12