4.Погрешности применения уравнений дайсона в приближении бурре.

Уравнения Дайсона в приближении Бурре для среднего поля и функции взаимной когерентности (которые в этом приближении обозначим через u_Д(t) и γ_Д(t)), составленные исходя из параболического уравнения (1), имеют вид

(20)

Оценим разность u(t)-u_Д(t) между суммой ряда теории возмущений (12) для среднего поля u(t) и решением u_Д(t) уравнения Дайсона (19). Представляем решение уравнения (19) в виде ряда теории возмущений и вычитаем его из ряда (12). Получаем ряд для оцениваемой разности. Он отличается от ряда (12) лишь тем, что в нем нет первого члена u₀(t), члена суммы с n = 1, и в правых частях равенств (13) из сумм по разбиениям α исключено простейшее разбиение 1, 2; 3, 4;...; 2n-1, 2n. Поэтому сразу же можно указать, каким рядом мажорируется ряд для оцениваемой разности. Этот мажорантный ряд сворачивается в конечное выражение с помощью решения уравнения

(21) которое служит уравнением Дайсона в приближении Бурре для среднего по ансамблю от вспомогательного одномерного случайного процесса ξ(t). Разность u(t)-u_Д(t) оценивается неравенством

(22) где функция q(t) равна

Аналогичная оценка разности γ(t)-γ_Д(t) между суммой ряда теории возмущений для функции взаимной когерентности γ(t)и решением γ_Д(t) уравнения Дайсона (20) имеет вид

(23) где функция q(t) равна

и вычитаемое k_Д(t) удовлетворяет уравнению, которое получается из уравнения (21) заменой ядра B(t, t') на 4B(t, t').

Неравенства (22) и (23) оценивают абсолютные погрешности применения уравнений Дайсона (19) и (20) к вычислению сумм рядов теории возмущений для среднего поля и функции взаимной когерентности поля, удовлетворяющего параболическому уравнению (1). Чтобы получить относительные погрешности, необходимо располагать оценками снизу для норм решений уравнений Дайсона (19) и (20). Такие оценки снизу имеют вид

(24) где через k^‑_Д(t)>0 и k^ ^‑_Д(t)>0 обозначены положительные решения уравнений, которые получаются из уравнения (21) для k_Д(t) и из уравнения для k^_Д(t) изменением знака перед их интегральными членами на противоположный. Разделим неравенства (22), (23) на (24). Это дает

(25) где функции Q(t) и Q^(t) равны

(26)

5. Границы применимости уравнений дайсона в приближении бурре.

Рассмотрим неравенства (25) для относительных погрешностей применения уравнений Дайсона (19.) и (20) с физической точки зрения. Считаем, что среда статистически однородна. Обозначим через d величину, связанную с корреляционной функцией В (р, t) потенциала равенством

Эта величина представляет собой длину экстинкции среднего поля, вычисленного в марковском приближении.

Если преобразование Фурье В(χ, t) корреляционной функции B(р, t) по p положительно, то для функции B(t, t') B(t ‑ t') в правой части неравенства (15) можно взять B(t) = B(p,t) при р = 0. Пусть

(27) где σ² - средний квадрат флуктуаций проницаемости, t_|| =2l_||/k₀, l_|| - продольный масштаб эффективной неоднородности. Относительные погрешности Q(t) и Q^(t) с функцией B(t), равной (27), легко вычисляются. Приведем их приближенные значения, когда выполняются условия

(28)

Условия (28) имеют ясный физический смысл и означают, что пройденная волной дистанция велика по сравнению с продольным масштабом неоднородности, который сам мал по сравнению с длиной экстинции. Третье условие (28) накладывает на дистанцию ограничение сверху, позволяющее ей, однако, превышать длину экстирции.

Нестрогие оценки показывают, что условия (28) допускают в уравнении Дайсона (19) переход к марковскому приближению. Такой переход производится заменой в этом уравнении корреляционной функции потенциала В(р, t) на ее эффективное значение, пропорциональное дельта - функции от продольной координаты t.

Приближенные значения Q(t) и Q^(t) при условиях (28) равны

. (29) Из формул (29) видно, что если, например, пройденная волной дистанция равна длине экстинкции, х = d, то относительные погрешности меньше, чем Q(t)l_||/d и Q^(t)400 l_||/d. Вторая из этих погрешностей становится меньше единицы при более жестком ограничении на отношение l_||/d по сравнению с первой погрешностью.

В заключение обратим внимание на то, что требование малости, по сравнению с единицей, функций Q(t) и Q^(t), определяемых выражениями (26), дает только достаточные условия, при которых уравнения Дайсона в приближении Бурре (19) и (20) можно применять к вычислению среднего поля и функции взаимной когерентности поля, удовлетворяющего параболическому уравнению (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.В. И. Татарский, ЖЭТФ.56, вып. 6, 2106 (1969).

2.Н. И. Ахиезер, И. Н. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, изд. Наука, М.,1966.