Фунд. и комп. алгебра I курс / АЛГЕБРА 2

ТЕОРЕМА 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора будут ортогональны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a a, b b, .

Тогда

a, b a, b a , b a, b a, b a, b .

Откуда a, b 0 , следовательно a, b 0 , т. к. . □

ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора в унитарном пространстве U найдётся

ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 1 характеристический корень линейного оператора (по основной теореме алгебры комплексных чисел

[3] такой корень существует). Ему соответствует собственный вектор a1.

Рассмотрим множество U1 x : x, a1 0 , которое является

подпространством пространства U и называется ортогональным к a1. Так как a1 1a1 , то для любого вектора x U1 справедливо

a1, x a1 , x 1a1, x 1 a1, x 0 .

Таким образом, x U1 как только x U1. Такое подпространство называется инвариантным, относительно оператора .

Рассмотрим оператор 1 , заданный на U1 следующим образом: x U1 1 x x . Оно называется ограничением на U1 . Заметим, что собственные векторы 1 будут собственными векторами и .

Далее аналогично находим в U1 собственный вектор a2 оператора .

Пусть U2 подпространство векторов, ортогональных к a2 и U2 U2 U1.

U2 будет опять инвариантным относительно , т. к. является пересечением

21

двух инвариантных подпространств. В нём снова найдётся собственный вектор a3 оператора . И т. д.

Продолжая указанную процедуру, получим ортогональный базис

, an пространства U , составленный из собственных векторов оператора . Остаётся нормировать этот базис.

В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь диагональный вид [2]. □

§1.6. Унитарные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства U называется

унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.

x, y U x, y x , y .

Непосредственно из определения унитарного оператора следует:

x, y x, y ,

т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого 1.

Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.

Если A матрица оператора в некотором ортонормированном

базисе, то матрица будет A сопряжено транспонированной. Условие

унитарности оператора в матричной форме будет выглядеть следующим

образом: A A E или A A 1. Такая матрица A тоже называется

унитарной.

Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и

22

сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что A A 1, т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной.

Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу ортогональной.

ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства U

является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е. x x .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,

В случае евклидова пространства, т. к. b, a a, b , имеем a, b a , b .

Иначе, положим в (1) i , получим

b, a a, b b , a a , b .

23

Следовательно, унитарный оператор. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в

некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей.

Покажем, что собственные значения по модулю равны 1.

Пусть a a . тогда

a, a a , a a, a a, a .

§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.

Линейный оператор унитарного пространства U называется

эрмитовым (самосопряжённым), если

24

x, y U x , y x, y ,

т. е. если линейный оператор совпадает со своим сопряжённым .

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть A , то в

своей транспонированной. Такие матрицы называются симметрическими.

Поэтому в евклидовых пространствах эрмитовы операторы называют

симметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об эрмитовых операторах). Матрица эрмитова оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как эрмитов оператор является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, существует ортонормированный базис, в котором он задаётся диагональной матрицей. Докажем, что собственные значения

действительны. Пусть a a , тогда

a, a a, a a , a a, a a, a a, a .

В силу того, что a, a 0 , имеем , а это возможно лишь в случае

R . □

§1.8. Кососимметрические операторы.

Линейный оператор унитарного пространства U называется

кососимметрическим, если или

25

ТЕОРЕМА. (основная об кососимметрических операторах). В

подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора будет диагональной, причём каждый диагональный элемент либо 0 , либо чисто мнимое число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как частный случай нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, достаточно показать, что собственные значения чисто мнимые числа (или 0).

Пусть a a , тогда

a, a a, a a , a a, a a, a a, a ,

т. е. , поэтому, если x i y , то x i y . Откуда x 0 . □

§1.9. Неотрицательные линейные операторы.

Линейный оператор унитарного (или евклидова) пространства U

называется неотрицательным, если

x U x , x R и x , x 0 .

26

Если равенство выполняется лишь при условии x , то такой оператор называется положительно определённым.

Отметим свойства неотрицательных линейных операторов.

Свойство 1. Линейная комбинация неотрицательных линейных операторов с действительными неотрицательными коэффициентами неотрицательна.

Действительно, a a , a a , a a , a 0 . □

Свойство 2. Для любого линейного оператора оператор

неотрицателен.

Действительно, x , x x , x 0 . □

ЛЕММА. Все собственные значения неотрицательного линейного

оператора действительны и неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если a a , то a , a a, a 0, т. е.

R и 0. □

ТЕОРЕМА. (основная о неотрицательных операторах).

Самосопряжённый линейный оператор тогда и только тогда является положительно определённым, когда все его собственные значения неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В одну сторону доказательство следует из

27

§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.

Как уже отмечалось в §1.4 (теорема 3), в унитарном пространстве всякий линейный оператор имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство). В случае евклидова пространства это

относительно с действительными коэффициентами. Пусть 0 есть корень этого уравнения. Возможны два случая:

a)0 есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно

найти вещественные не все равные нулю числа 10, 20, , n0 , являющиеся решением системы (1). Считая их координатами некоторого вектора x в

базисе e1, e2 , , en , мы можем систему (1) переписать в виде

28

A x 0 x (где x столбец из координат вектора x )

или x 0 x ,

т. е. x порождает одномерное инвариантное подпространство.

b)0 i , т. е. 0 комплексно. Пусть

Равенства (3) означают, что двумерное подпространство, порожденное векторами x и y , инвариантно относительно . □

Если потребовать в доказательстве теоремы, чтобы базис e1, e2 , , en

был ортонормированным, а оператор нормальным, то векторы x и y

будут ортогональными. Действительно, если i собственное значение, то

29

и i также будет собственным значением (как корни многочлена с

действительными коэффициентами). Соответствующие собственные векторы

Таким образом, оператор 1 есть композиция операторов с матрицами

30