Фунд. и комп. алгебра I курс / АЛГЕБРА 2

Первый из которых соответствует преобразованию подобия с центром в начале координат и коэффициентом растяжения r ; второй поворот в плоскости x, y на угол около начала координат.

ТЕОРЕМА 2. (основная о нормальных операторах в евклидовых пространствах). Матрица нормального оператора в евклидовом

пространстве имеет клеточно-диагональный вид в подходящем ортонормированном базисе. В клетках порядка 1 находятся действительные числа, а клетки порядка 2 имеют вид .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно аналогично доказательству теоремы 3 §1.4 о

действительный корень. Но тогда он имеет 2 комплексно-сопряжённых корня

и , которые по теореме 1 позволяют определить подпространство размерности 2, инвариантное относительно , которое порождено двумя

ортогональными векторами x и y . Клетка матрицы ограничения 1

оператора в базисе x, y имеет вид .

Так как пространство векторов, ортогональных векторам x и y так же инвариантно относительно , то осталось воспользоваться индукцией по

размерности пространства. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об ортогональных операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора клеточно-диагональная с клетками порядка 1 и 2; причём в клетках порядка 1 содержатся числа 1 или -1, а клетки порядка

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно следует из теоремы 2 о нормальных

31

операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения ортогонального оператора (как частного случая унитарного оператора) по модулю равны 1. Действительно, если модули собственных

Пример 3. Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство E3 . По теореме 3 для каждого ортогонального оператора пространства E3 можно найти такую ортонормированную систему векторов e1, e2, e3 , что матрица оператора будет иметь один из следующих шести видов:

Операторы соответствуют следующим преобразованиям пространства:

a)тождественное преобразование;

b)зеркальное отображение относительно плоскости e2Oe3 ;

c)зеркальное отображение относительно прямой Oe1 ;

d)зеркальное отображение относительно точки O ;

e)вращение на угол около оси e1 ;

f)вращение на угол около оси e1 , сопровождаемое зеркальным отображением относительно плоскости e2Oe3 .

Для симметрических операторов теорема формулируется так же, как и для эрмитовых. Согласно теореме 2 данного параграфа матрица оператора распадается на клетки порядков 1 или 2. При этом клетки порядка 2

появляются только тогда, когда характеристический многочлен оператора

32

имеет комплексные корни. Но характеристические корни симметрических операторов действительны. Следовательно, справедлива

ТЕОРЕМА 4. (основная о симметрических операторах). Матрица симметрического оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали. □

ТЕОРЕМА 5. (основная о кососимметрических операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора евклидова пространства имеет клеточно-диагональный вид с клетками порядков 1 или 2; причём в клетках

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения кососимметрического оператора либо 0, либо чисто мнимое число. □

33

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве

2. Установить, образует ли каждая из указанных систем векторов ортогональный базис в евклидовом пространстве En :

34

4. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова

пространства E3 , построить ортонормированный:

5. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства E4 , построить ортонормированный:

6.Даны векторы евклидова пространства En . Найти длины векторов x

иy , их скалярное произведение, косинус угла между ними:

7. Выяснить, является ли матрица A ортогональной, и если является, то найти обратную ей:

35

10.При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной?

11.Оператор : En En имеет в некотором ортонормированном

36