Фунд. и комп. алгебра I курс / АЛГЕБРА 2

относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. матрица A

симметрическая. Обратно, для любой симметрической матрицы A n го порядка можно указать вполне определенную квадратичную форму (5) от n

неизвестных, имеющую элементы матрицы A своими коэффициентами.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Матрица, полученная транспонированием

произведения, равна произведению матриц, получающихся

транспонированием сомножителей, притом взятых в обратном порядке,

Обозначим теперь через X столбец, составленный из неизвестных,

x1

x X 2 .

xn

Транспонируя эту матрицу, получим матрицу

Квадратичная форма (5) с матрицей A aij может быть записана теперь в виде следующего произведения:

41

состоящую из одной строки и одного столбца, а именно правую часть равенства (5).

Матрицей этого преобразования будет Q qik . Преобразование называется

невырожденным, если матрица Q невырожденная. При этом считаем, что

матрицей Q превращается в квадратичную форму от новых неизвестных,

причем матрицей этой формы служит произведение Q AQ .

42

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как X QY , то по (6) имеем:

Подставляя (9) и (10) в запись (7) формы f , получаем: f Y (Q AQ)Y ,

или

f Y B Y ,

где

B Q AQ .

Матрица B будет симметрической, так как ввиду равенства (6),

справедливого, очевидно, для любого числа множителей, и равенства A A ,

равносильного симметричности матрицы A , имеем:

B Q A Q Q AQ B . □

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Ранг квадратичной формы не меняется при

выполнении невырожденного линейного преобразования.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем вначале, что ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей. Действительно, каждая строка произведения

выше ранга B . □

Рассмотрим теперь, по аналогии с указанной в начале параграфа геометрической задачей, вопрос о приведении произвольной квадратичной

формы некоторым невырожденным линейным преобразованием к виду

43

Этот специальный вид квадратичной формы называется каноническим.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Число отличных от нуля коэффициентов в (11)

равно рангу r формы f .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть квадратичная форма f от n неизвестных x1, x2, , xn уже приведена невырожденным линейным преобразованием к

По предложению 3 эта матрица имеет ранг r , что равносильно утверждению,

что на ее главной диагонали стоит ровно r отличных от нуля элементов. □

ТЕОРЕМА 2. (основная о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид ax2 ,

являющийся каноническим. Будем вести доказательство индукцией по числу неизвестных, т. е. доказывать теорему для квадратичных форм от n

неизвестных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом неизвестных.

Пусть дана квадратичная форма

44

от n неизвестных x1, x2, , xn . Мы постараемся найти такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из f квадрат одного из неизвестных, т. е. привело бы f к виду суммы этого квадрата и некоторой

квадратичной формы от остальных неизвестных. Эта цель легко достигается

входит с отличным от нуля коэффициентом квадрат хотя бы одного из неизвестных xi .

из (12) невырожденным линейным преобразованием, а именно

преобразованием, обратным линейному преобразованию (13), которое имеет своим определителем a11 и поэтому не вырождено.

45

преобразование, приводящее к появлению в нашей форме f квадратов

неизвестных. Так как среди коэффициентов в записи (12) этой формы должны быть отличные от нуля, иначе нечего было бы доказывать, то пусть,

В результате этого преобразования слагаемое 2a12 x1x2 нашей формы примет вид

2a12x1x2 2a12(z1 z2)(z1 z2) 2a12z12 2a12z22 ,

т. е. в форме f появятся, с отличными от нуля коэффициентами, квадраты

сразу двух неизвестных, причем они не могут сократиться ни с одним из остальных членов, так как в каждый из этих последних входит хотя бы одно

из неизвестных z3, , zn .

Теперь мы находимся в условиях уже рассмотренного выше случая,

т. е. еще одним невырожденным линейным преобразованием можем привести форму f к виду (14).

Для окончания доказательства остается отметить, что квадратичная форма g зависит от меньшего, чем n , числа неизвестных и поэтому, по предположению индукции, некоторым невырожденным преобразованием неизвестных y2 , y3, , yn приводится к каноническому виду. Это преобразование, рассматриваемое как (невырожденное, как легко видеть)

46

преобразование всех n неизвестных, при котором y1 остается без изменения,

приводит, следовательно, (14) к каноническому виду. Таким образом,

квадратичная форма f двумя или тремя невырожденными линейными преобразованиями, которые можно заменить одним невырожденным преобразованием их произведением, приводится к виду суммы квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно,

как мы знаем, рангу формы r . Если, сверх того, квадратичная форма f

действительная, то коэффициенты как в каноническом виде формы f , так в линейном преобразовании, приводящем f к этому виду, будут действительными; в самом деле, и линейное преобразование, обратное (13), и

линейное преобразование (15) имеют действительные коэффициенты. □

Метод, использованный в этом доказательстве, может быть применен в конкретных примерах для действительного приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нужно лишь вместо индукции, которую мы использовали в доказательстве, последовательно выделять изложенным выше методом квадраты неизвестных.

Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму

f x1x2 x2x3 x3x1

Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование

после чего получим:

f y12 y22 2 y1y3.

Теперь коэффициент при y12 отличен от нуля, и поэтому из нашей

47

формы можно выделить квадрат одного неизвестного. Полагая

z1 y1 y3 , z2 y2 , z3 y3 ,

т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу

Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму

к каноническому виду, будет иметь своей матрицей произведение

Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как определитель равен 2 ) линейное преобразование

x1 z1 z2 z3, x2 z1 z2 z3, x3 z3

превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.

§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду,

изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории

48

допускается использование любых невырожденных линейных

преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от n неизвестных с действительными коэффициентами,

если потребовать, чтобы матрица преобразования Q была ортогональной.

Такое преобразование называется ортогональным, а сама процедура

приведением квадратичных форм к главным осям.

ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным

преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в евклидовом пространстве.

Если A матрица квадратичной формы, то она симметрическая порядка n .

Если e1, e2, ,en некоторый ортонормированный базис n мерного евклидова пространства, то матрица A задаёт в этом базисе симметрический оператор . По основной теореме о симметрических операторах в

Поэтому B Q A Q . А именно так преобразуется матрица A квадратичной

формы, подвергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей

Q .

Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу Q

ортогонально, а матрица B , будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □

49

Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

fx12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2x3

кканоническому виду и написать этот канонический вид.

Решение. Матрица этой формы имеет вид

Найдём её характеристический многочлен:

корень 5 . Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет

f y12 y22 5y32 .

Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям 1,2 1; 3 5, т. е. решим системы

линейных однородных уравнений A E 0 для каждого .

При 1,2 1 имеем

50