Фунд. и комп. алгебра I курс / АЛГЕБРА 2

n / /

a, b i i a , b .□

i 1

Естественно изоморфные евклидовы пространства не считать различными. Поэтому для всякого n существует единственное n мерное евклидово пространство в том же смысле, в каком для всякого n существует единственное n мерное действительное линейное пространство.

На случай комплексных линейных пространств понятия и результаты настоящего параграфа переносятся следующим образом. Комплексное линейное пространство U n называется унитарным пространством, если в нем задано скалярное умножение, причем a, b будет комплексным числом;

при этом должны выполняться аксиомы II IV, а аксиома I заменяется

следующей аксиомой:

I '.

где черта над скалярным произведением обозначает, как обычно, переход к сопряженному комплексному числу. Следовательно, скалярное произведение в унитарном пространстве не будет коммутативным. Тем не менее,

равенство, симметричное аксиоме II, остается справедливым.

II '. a, b c a, b a, c ,

так как a, b c b c, a b, a c, a b, a c, a a, b a, c . III '. a, b a, b ,

так как a, b b, a b, a b, a a, b ,

IV '. Скалярный квадрат ненулевого вектора a комплексного линейного пространства действителен и строго положителен,

a, a 0.

Понятия ортогональности и ортонормированной системы векторов переносятся на случай унитарных пространств без всяких изменений. Как и выше, доказывается существование ортонормированных базисов во всяком

11

конечномерном унитарном пространстве. При этом, однако, если e1, e2, , en ортонормированный базис и векторы a, b имеют в этом базисе

нулевой вектор имеет длину, равную нулю.

ТЕОРЕМА 4. Для любых двух векторов a, b n мерного унитарного пространства U n имеет место неравенство Коши Буняковского

a, b ab ,

причем равенство достигается лишь в случае, когда векторы a и b линейно зависимые.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать это неравенство для векторов, отличных от нуля. Рассмотрим a b, a b 0 . Преобразовывая левую часть, получим

a, a a, b a, b b, b 0 .

b, b , получим

a, a b, b a, b a, b a, b a, b a, b a, b 0 .

Учитывая, что a, b a, b a, b 2, имеем

a, b ab .

Если a b , т. е. a и b линейно зависимые, то имеет место равенство.

Равенство достигается и в том случае, когда один из векторов нулевой (в

12

этом случае система так же линейно зависима). □

Из неравенства Коши Буняковского легко вытекает так называемое

«неравенство треугольника для векторов», а именно:

a bab .

Действительно,

a b2 a, b a, b a, a a, b a, b b, b a, a 2 Re a, b b, b ,

где Re a, b целая часть комплексного числа a, b . Так как

Re a, b a, b ab , то

a b2 a2 2abb2 ab 2 . □

Величиной угла между двумя отличными от нуля векторами a и b в

перпендикулярны или ортогональны между собой) тогда и только тогда,

когда a, b 0 .

§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.

Два унитарных (или евклидовых) пространства U1 и U2 называются

изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие f , для которого

f x y f x f y и x, y f x , f y .

ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных

13

пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если U1 и U2 изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].

Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.

Покажем, что f сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора

§1.3. Линейные функции.

Рассмотрим произвольное линейное пространство L над полем P .

14

Отображение : L P называется линейной функцией, если

линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций,

заданных в L образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.

линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.

15

Рассмотрим вектор

§1.4. Сопряжённые операторы.

Построим по каждому линейному оператору n мерного унитарного пространства U оператор , сопряжённый данному. Выберем в U вектор y

и рассмотрим функцию f x x , y переменной x . Эта функция является линейной. Действительно

16

fu v u v , y u v , y

u , y v , y f u f v .

Сдругой стороны f x x, a , где a U по теореме из предыдущего параграфа определяется однозначно по функции f , т. е. по и y . Таким образом, при фиксированном для каждого y имеется единственный вектор

ay . Оператор y ay называется сопряжённым к , т. е.

x , y x, y .

Покажем, что для каждого сопряжённый оператор определяется однозначно. Предположим, что существует оператор , такой что

x , y x, y , тогда x, y x, y x, y y 0

y y .

Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно

x, u v x , u v x, u x, v

x, u x, v x, u v .

Значит u v u v .

Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:

1.;

2.;

3.;

4..

Докажем первое свойство.

17

координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

Решение. Координаты векторов f1, f2 , f3 заданы в некотором

18

Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.

Возвращаемся к исходному базису

19

§1.5. Нормальные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства U называется

нормальным, если

,

т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.

Если e1, e2, ,en ортонормированный базис пространства U и A

матрица нормального оператора в этом базисе, то по теореме из §1.3

имеем A A A A .

Справедливы следующие три теоремы о нормальных операторах.

ТЕОРЕМА 1. Всякий собственный вектор a нормального оператора

, соответствующий собственному значению будет и собственным вектором оператора , который соответствует комплексно-

сопряжённому значению .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если линейный оператор, а

тождественный оператор x x , то также линейный оператор,

сопряжённым для которого будет (т. к. ). По условию

нормальный оператор, значит . Нетрудно проверить, что

.

Из того, что a является собственным вектором оператора следует, что a , значит

a , a a , a

a , a a , a .

То есть a и a a . □

20