Фунд. и комп. алгебра I курс / АЛГЕБРА 2

которые мы получим, решая по правилу Крамера систему линейных

коэффициентам формы установить, будет ли эта форма положительно определенной. Для этой цели служит другая теорема, которую мы сформулируем и докажем после того, как введем одно вспомогательное понятие.

невырожденному линейному преобразованию с действительной матрицей

Q , то знак определителя формы (т. е. определителя ее матрицы) не

т. е. определитель A умножается на положительное число. □

61

ТЕОРЕМА. 2. Квадратичная форма f от n неизвестных с

действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, если все ее главные миноры строго положительны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся индукцией по количеству неизвестных. При n 1 теорема верна, так как форма имеет в этом случае вид

ax2 и поэтому положительно определена тогда и только тогда, если a 0.

Будем, поэтому доказывать теорему для случая n неизвестных, предполагая,

что для квадратичных форм от n 1 неизвестных она уже доказана.

Пусть дана квадратичная форма

где будет квадратичной формой от n 1 неизвестных, составленной из тех слагаемых формы f , в которые не входит неизвестная xn .

Главные миноры формы совпадают, очевидно, со всеми, кроме последнего, главными минорами формы f .

Пусть форма f положительно определена. Форма также будет в этом случае положительно определенной: если бы существовали такие значения неизвестных x1, x2, , xn 1 не все равные нулю, при которых форма

получает не строго положительное значение, то, полагая дополнительно xn 0 , мы получили бы, ввиду (3), также не строго положительное значение формы f , хотя не все значения неизвестных x1, x2, , xn 1 равны нулю.

Поэтому, по индуктивному предположению, все главные миноры формы ,

т. е. все главные миноры формы f , кроме последнего, строго положительны.

Что же касается последнего главного минора формы f , т. е. определителя

62

самой матрицы A , то его положительность вытекает из следующих соображений: форма f , ввиду ее положительной определенности,

невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов. Определитель этого нормального вида строго положителен, а поэтому ввиду сделанного выше замечания положителен и определитель самой формы f .

Пусть теперь строго положительны все главные миноры формы f .

Отсюда вытекает положительность всех главных миноров формы , т. е., по индуктивному предположению, положительная определенность этой формы.

Существует, следовательно, такое невырожденное линейное преобразование неизвестных x1, x2, , xn 1, которое приводит форму к виду суммы n 1

положительных квадратов от новых неизвестных y1, y2 , , yn 1. Это линейное преобразование можно дополнить до (невырожденного) линейного

доказать положительность числа c . Определитель формы, стоящей в правой части равенства (5), равен c . Этот определитель должен, однако, быть

63

положительным, так как правая часть равенства (5) получена из формы f

двумя невырожденными линейными преобразованиями, а определитель формы f был, как последний из главных миноров этой формы,

положительным. □

Пример 3. Квадратичная форма

f 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2x3

положительно определена, так как ее главные миноры

положительны.

Пример 4. Квадратичная форма

f x12 x22 5x32 6x1x2 4x1x3 4x2x3

не будет положительно определенной, так как ее второй главный минор отрицателен:

1 3 8

3 1

По аналогии с положительно определенными квадратичными формами можно ввести отрицательно определенные формы, т. е. такие невырожденные квадратичные формы с действительными коэффициентами,

нормальный вид которых содержит лишь отрицательные квадраты неизвестных. Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются иногда полуопределенными.

Наконец, неопределенными будут такие квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных.

64

§2.6. Пары форм.

Пусть дана пара действительных квадратичных форм от n

неизвестных, f (x1, x2, ..., xn ) и g(x1, x2, ..., xn ) . Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных x1, x2 , ..., xn , которое одновременно приводило бы обе эти формы к каноническому виду?

В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например,

пару форм

Пусть существует невырожденное линейное преобразование

x1 c11y1 c12 y2, x2 c21y1 c22 y2,

приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобы форма f

могла быть приведена указанным преобразованием к каноническому виду,

один из коэффициентов c11, c12 должен быть равен нулю, иначе вошло бы слагаемое 2c11c12 y1y2 . Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных y1, y2 ,

можно положить, что c12 0 и поэтому c11 0 . Мы получим теперь, однако,

что

g(x1, x2) c11y1(c21y1 c22 y2) c11c21y12 c11c22 y1y2 .

Так как форма g также должна была перейти в канонический вид, то c11c22 0 , т. е. c22 0 , что вместе с c12 0 противоречит невырожденности указанного линейного преобразования.

Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна из наших форм, например g(x1, x2, ..., xn ) , является положительно определенной.

ТЕОРЕМА. Если f и g пара действительных квадратичных форм от n неизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее форму g к нормальному виду, а форму f к каноническому виду.

65

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним сначала невырожденное линейное преобразование неизвестных x1, x2 , ..., xn ,

X T Y ,

приводящее положительно определенную форму g к нормальному виду,

g(x1, x2, ..., xn ) y12 y22 ..., yn2 .

f (x1, x2, ..., xn ) 1z12 2z22 ..., nzn2 ,

g (x1, x2, ..., xn ) z12 z22 ..., zn2 .

т. е. линейное преобразование

X (T Q)Z

является искомым. □

66

67

е) f x1, x2, x3 x1x2 x1x3 .

19. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную

68

69

ГЛАВА III. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ. §3.1. матрицы, их эквивалентность.

В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка n ,

элементами которых служат многочлены произвольных степеней от одного неизвестного с коэффициентами из поля P . Такие матрицы называются

многочленными матрицами или полиномиальными матрицами, или, короче,

матрицами. Примером матрицы может служить характеристическая матрица A E произвольной квадратной матрицы A с элементами из поля

P ; на главной диагонали этой матрицы стоят многочлены первой степени,

вне главной диагонали многочлены нулевой степени или нули. Всякая матрица с элементами из поля P также будет частным случаем матрицы.

Такие матрицы для краткости будем называть числовыми матрицами, ее элементы являются многочленами нулевой степени или нулями. В общем случае матрица выглядит следующим образом:

Назовем элементарными преобразованиями этой матрицы преобразования следующих двух типов:

1)умножение любой строки (столбца) матрицы A на любое

(умноженного) на любой многочлен из кольца P .

Легко видеть, что для каждого из элементарных преобразований

матрицы существует обратное преобразование, также являющееся элементарным. Так, обратным для преобразования 1) будет элементарное преобразование, состоящее в умножении той же строки (столбца) на число

70