Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
4. (0). Волновые свойства микрочастиц. Волны де-Бройля.
Оптико-механическая аналогия 
Геометрическая |
Теоретическая |
оптика |
механика |
0 |
? |
Волновая |
Волновая |
оптика |
(квантовая) |
|
механика |
Оптико-механическая аналогия
Геометрическая |
Теоретическая |
оптика |
механика |
Принцип наименьшего |
Принцип наименьшего |
времени Ферма |
действия Мопертюи |
(Fermat P.) |
(Maupertuis P.) |
B |
ds min |
B pds min |
|
v |
A |
A |
|
Между этими двумя принципами имеется аналогия, 
если предположить, что |
1 |
p : |
|
|
v |
где v - фазовая скорость волны, которую далее бу- дем обозначать vф.
Гипотеза де-Бройля
Де-Бройль (de Broglie L.) предположил, что коэффи- циент пропорциональности в формуле, связываю- щей импульс и фазовую скорость, такой же, как и
для фотона, т.е. равен h p h h
vф
где - линейная частота.
: |
h |
или |
|
|
p |
Это же соотношение можно записать в виде
|
|
p hk |
(4.1) |
|
|
|
|
где k |
2 |
- волновое число, равное числу длин |
|
|
|
|
|
волн, укладывающихся на отрезок 2 . |
|
||
Далее, движение материальной частицы характери- зуется четырехмерным вектором энергии-импуль- са {iE/c, px, py, pz}, а плоская волна - совокупнос-
тью четырех величин {i /c, kx, ky, kz}, которые также образуют четырехвектор. Поэтому коэффи- циент пропорциональности между энергией и час- тотой, согласно гипотезе де-Бройля, также дол- жен быть таким же, как в оптике:
E h |
(4.2) |
где - циклическая частота, связанная с линейной частотой соотношением = 2 . 
Формулы (4.1) и (4.2) иногда называют уравнениями де Бройля. 
Волны де-Бройля
Итак, согласно гипотезе де-Бройля (1924г), микро- частицы обладают волновыми свойствами. Длина волны микрочастицы (электрона, протона, нейтро-
на, альфа-частицы и др.) называется
дебройлевской длиной волны и определяется
формулой де Бройля:
h |
|
h |
(4.3) |
p |
|
mv |
|
где h – постоянная Планка, р = mv – импульс части- цы, v - скорость частицы (не фазовая скорость).
ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ
Плоская монохроматическая волна с амплитудой А,
частотой и волновым вектором k может быть представлена в комплексной форме в виде:
r, i t k r i Et p r
t Ae Ae h (4.4)
Фазовой скоростью волны называется скорость, с которой движутся точки волны с постоянной фа-
зой. Если ось x направлена по вектору p, то усло- вие постоянства фазы
Et - px = const. |
(4.5) |
Чтобы вычислить фазовую скорость, надо продиф- ференцировать это уравнение по времени.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
Продифференцируем (4.5) по времени: |
E p dt 0 |
||||||||||
|
|
||||||||||
откуда dx |
E , где |
dx |
vф - фазовая скорость. |
||||||||
dt |
p |
|
dt |
|
|
|
|
E |
h |
|
|
По формулам (4.1) и (4.2) находим: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
hk |
k |
С другой стороны: |
E |
|
mc2 |
|
c2 |
|
|
|
|||
p |
mv |
v |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где v - скорость частицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, фазовая скорость: |
|
vф |
|
|
|
c2 |
(4.6) |
||||
|
k |
v |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Суперпозиция волн
Рассмотренная выше плоская монохроматическая волна представляет строго периодический про- цесс, бесконечно протяженный в пространстве и во времени. Это абстракция; в природе такие волны не существуют. Любой реальный процесс имеет начало и конец, он ограничен как во вре- мени, так и в пространстве и не является строго гармоническим. Его можно рассматривать как ре- 
зультат суперпозиции (наложения) гармоничес- 
ких волн, которые вследствие интерференции в одних частях пространства усиливают друг дру- га, а в других - гасят друг друга. 
Образование волновой группы
Рассмотрим суперпозицию двух волн:
u1 a cos 1t k1x |
, |
u2 a cos 2t k2 x |
|
|
|
|
||||||||
распространяющихся вдоль оси x. Будем считать, |
|
|||||||||||||
что частоты 1 и 2, а также абсолютные значе- |
|
|||||||||||||
ния волнового вектора k1 и k2 очень мало отлича- |
|
|||||||||||||
ются друг от друга. Складывая u1 и u2, находим: |
|
|||||||||||||
u u1 |
u2 |
a cos 1t k1x a cos |
2t k2 x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
k k |
|
|
|
k k |
|
|
||||||
2a cos |
|
1 |
2 t |
1 |
2 x |
|
1 |
2 t |
1 |
|
|
2 x |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
, |
k1 k2 |
k, |
1 2 |
|
|
, |
k1 k2 |
|
k |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |