Механика

ЗАНЯТИЕ 1 Кинематика материальной точки

Вопросы для подготовки к семинару.

Скорость и ускорение МТ при векторном, координатном и естественном способах описания движения. Нормальное и тангенциальное ускорение, радиус кривизны траектории. Кинематические характеристики равномерного прямолинейного движения (РПД) и равноускоренного движения (РУД).

Задача 1

А) Закон движения МТ задан уравнениями:

1. x=At; y=A(1+Bt)t, где A,B– const.

Определите уравнение траектории, радиус-вектор, скорость, ускорение МТ.

Б)Зависимость пройденного МТ пути от времени задаётся уравнением

S=A-Bt+Ct²+Dt³ C=0,2m/c²; D=0,1m/c³

Определить через какой промежуток времени после начала движения ускорение тела равно 1m/c², определите среднее ускорение за этот промежуток времени.

В)Зависимость ускорения тела от времени

а=А-Вt, где А=4 m/c²; В=21m/c³.

Определите скорость и координату тела через 3с после начала движения.

ЗАДАЧА 2

С башни высотой h = 30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью V₀ = 10 м/с. Определите: 1) уравнение траектории тела y (x); 2) скорость V тела в момент падения на Землю; 3) угол , который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения; 4) радиус кривизны траектории тела черезt=2с после начала движения.

ЗАДАЧА 3

Тело брошено с начальной скоростью v_o под углом к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха определите время движения, дальность полета, максимальную высоту подъема тела.

Задача 4

Поезд движется по закруглению радиусом 400 м, причем его тангенциальное ускорение равно 0,2 м/с². Определите нормальное и полное ускорение поезда в тот момент, когда его скорость равна

10 м/с.

ЗАДАЧА 5

Радиус – вектор материальной точки изменяется со временем по закону . Определите: 1) скорость; 2) ускорение; 3) модуль скорости в момент времениt=2c.

ЗАДАЧА 6

Материальная точка перемещается по оси Х так, что координата зависит от времени по закону: х= 6t - 0,125t².

Найдите скорость точки в момент времени t₁=2 с и среднюю скорость за первые t₂=10 с движения.

ЗАДАЧА 7

Мяч свободно падает с высоты 15 м на горизонтальную поверхность. При каждом отскоке его скорость уменьшается в 2 раза. Найдите путь, пройденный мячом до полной остановки.

Задачи для самостоятельного решения

1. Кинематические уравнения движения мт имеют вид:

1) х=αt , у=αt(1-βt) ;

2) х=b( 1-Sin ωt ) , у= b Cos ωt;

3) х=t² , у= b Sin(πt);

4) х= bSin t , у=b Cos² t ;

5) х= α (t – βt²), у=δ Cos t ;

6) х= α е^t , y= β t

7) х=e^3t, у=δ Cos2t ;

8) х=(1 – βt), у=δSin ωt ;

9) х=ln3t, у=gtе^t ;

10) х=tSin t , у=δ Cos t² ;

где α, β, ω, δ, g,b,– const.

Определите скорость и ускорение частицы.

2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол, под

которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности полета.

3. Два тела расстояние между которыми , начинают одновременно двигаться навстречу друг другу: первое равномерно со скоростьюv, а второе равноускоренно с ускорением а. Определите через какое время они встретятся.

4. Тело свободно падает с высоты 100 м. Найдите: 1) за какое время тело проходит первый и последний метр своего пути; 2) какой путь тело проходит за первую секунду своего движения; за последнюю секунду своего движения.

5. Шарик движется по наклонной доске снизу вверх. На расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через 1 с и 2 с после начала движения. Определите начальную скорость и ускорение движения шарика, считая движение равноускоренным.

6. Скорость поезда, движущегося под уклон, возросла с 15 м/с до

19 м/с. Поезд прошел при этом путь 340 м. Найдите с каким ускорением двигался поезд и сколько времени продолжалось движение под уклон.

7. Одну треть пути автомобиль движется со скоростью 20 км/час, оставшиеся две трети – со скоростью 80 км/час. Определите среднюю скорость движения автомобиля.

8. Камень свободно падает без начальной скорости. За последнюю секунду своего движения камень пролетел 20 метров. Определите время падения камня.

9. Дальность полета камня, брошенного горизонтально со скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. Найдите, с какой высоты было брошено тело.

10. Материальная точка перемещается по оси Х так, что координата зависит от времени по закону: х=9t+0,3t². Найдите зависимость скорости и ускорения от времени.

ЗАНЯТИЕ 2 Вращение твердого тела

Вопросы для подготовки к семинару.

Кинематические характеристики вращательного движения: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение. Равномерное вращение. Период и частота вращения. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения МТ.

ЗАДАЧА 1

Колесо радиусом R=0,1 м вращается так что зависимость угловой скорости от времени имеет вид ω = 2Аt +5Вt⁴ ( А=2 рад/c² ,

В= 1 рад/c⁵ ). Определите полное ускорение точек обода колеса через t =1 с после начала вращения и число оборотов колеса за это время.

ЗАДАЧА 2

Диск радиусом R= 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ= А+Вt+Сt²+Dt³ ( В =1 рад/с , С=1 рад/с² , D=1 рад/с³ ). Определите для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение; 2) нормальное ускорение; 3) полное ускорение.

ЗАДАЧА 3

Маховое колесо, спустя t = 1мин после начала вращения, приобретает скорость соответствующую частоте n = 720 мин ^–1.

Найдите угловое ускорение и число оборотов колеса за это время.

ЗАДАЧА 4

Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 180 мин ^–1. С некоторого момента времени вал тормозится и вращается с угловым ускорением численно равным 3 рад/с² . Найдите промежуток времени через который вал остановится. Сколько оборотов вал сделает до остановки?

ЗАДАЧА 5

Колесо радиусом R =10 см вращается с постоянным угловым ускорением ε =3,14 рад/c² . Найдите для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость; 2) линейную скорость; 3) полное ускорение.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время t =2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1 . Определите : 1) угловое ускорение колеса ; 2) число полных

оборотов колеса за это время.

2. Диск вращается около неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = Аt²( А=0,5 рад/с²). Определите к концу второй секунды после начала движения полное ускорение МТ, находящейся на

расстоянии 80 см от оси вращения.

3. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε =3 рад/c² Определите радиус колеса , если через t =1 с после начала движения полное ускорение колеса равно 7,5 м/c².

4. Найдите радиус маховика , если при вращении линейная скорость точек на его ободе 6 м/c , а точек расположенных на расстоянии 15 см ближе к оси вращения равна 5,5 м/с.

5. Линейная скорость точек обода диска равна 3 м/с, а точек, находящихся на расстоянии 10 см ближе к оси вращения равна 2 м/с. Определите частоту вращения диска.

6. Длина минутной стрелки башенных часов Московского университета равна 4,5 м. Определите линейную и угловую скорости острия стрелки.

7. Найдите линейную скорость Луны, обусловленную ее вращением вокруг Земли. Период вращения Луны (синодический месяц) равен 27,3 суток. Расстояние Земля- Луна 3,8410⁵ км.

8. Определите радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точек обода колеса в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

9. Угол поворота диска радиуса 10 см изменяется со временем по закону .Определите зависимость от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

10. Найдите сколько раз в сутки встречаются часовая и секундная стрелки часов.