Цифровые системы связи
Схема передачи |
||||
|
информации в |
|||
цифровой системе связи |
||||
Аналоговый |
Pош 1 f R log2 1 Pс Pш |
Аналоговый |
||
источник |
получатель |
|||
информации |
|
|
|
информации |
a(t) |
|
|
Pс Pш |
a(t) |
Преобразование |
|
|
Преобразование |
|
в цифровой |
|
|
|
в аналоговый |
сигнал |
Модулятор |
|
Демодулятор |
сигнал |
|
Канал связи |
|
||
011000101011… |
|
011000101011… |
||
|
|
|
||
R [бит/сек] |
s(t) A(t) cos 0t (t) |
R [бит/сек] |
||
|
|
f , [Гц] |
|
|
Преобразование |
||
аналогового сигнала в |
||
Аналоговый |
цифровой Представление |
|
источник |
Дискретизация |
аналоговых |
информации |
|
отсчетов в |
a(t) |
aД (t) |
цифровом виде |
N бит N бит |
||
|
|
…[11100010][10111100]… |
t |
|
t |
|
t |
R N t NF[бит/сек] |
|
|
|
F = 1/ t - частота дискретизации
Преобразование
цифрового сигнала в
аналоговый
Поток |
|
|
|
|
|
Сглаживание |
|
|
Дискретный |
||||
двоичных |
|
|
|
|
(фильтрация, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
сигнал |
|
|
||
данных |
|
|
|
|
интерполяция) |
|
|
|
|
|
|
aД (t) |
|
a(t) |
|
…[01100010][10111101]… |
t |
|
|
R [бит/сек] |
t |
||
|
Теорема Котельникова
Если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше чем fm , то функция
s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на
t 1
(2 fm )
секунд, и
s(t) s n t sin m (t n 2 fm ) |
|
|
|
n |
m (t n 2 fm ) |
Доказательство теоремы |
|||||||||
|
Котельникова |
||||||||
|
|
|
|
|
|
S( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
- m |
m |
|
|||||
Сделаем замену: |
x |
|
|
|
|
|
|
||
Введем функцию: |
|
F(x) S( ) , для |
m m |
||||||
F(x 2xm ) F(x)
F(x)
|
|
|
x |
-5xm -4xm -3xm -2xm -xm |
0 |
xm |
2xm 3xm 4xm 5xm |
Доказательство теоремы
Котельникова
F(x) - периодическая функция (период 2xm). Разложим ее в ряд Фурье:
|
|
|
|
jn xm x |
|
F(x) cne |
|||||
|
|||||
где |
|
n |
|
||
|
|
xm |
|
||
|
1 |
|
|
||
cn |
|
F(x)e jn xm x dx |
|||
2x |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
m xm |
|
||
Доказательство теоремы
Вернемся к S( ): Котельникова x , xm m ,
xm 
m 
(2 fm ) 1
(2 fm ) t ,
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
S( )e jn t d |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 m |
|
|
|
|
||
|
2 m m |
|
jn t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S( )e |
d |
|
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t s n t |
|||
Доказательство теоремы |
|||||
Котельникова |
|||||
F(x), |
если |
m m |
|||
S( ) |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||
0, |
если |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s( n t) te |
jn t |
s(n t) te |
jn t |
, |
m m |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
S( ) n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство теоремы
Котельникова
S( ) s(n t) n ( )
n |
|
te jn t , m m |
||||
|
||||||
|
n ( ) |
0, |
|
|
|
m |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
s(t) s(n t) n (t)
n
n (t)
sin m (t |
||||
|
|
|
(t |
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n t) n t)
, m m