Лабы / Задание / LABA_03

Лабораторная работа № 3

Изучение поведения статистики как случайной величины на примере выборочного среднего.

1. Вспомните, как определяется выборочное среднее. Выпишите формулу, покажите Ю.П. Чему равно математическое ожидание этой статистики? Докажите несмещенность этой оценки математического ожидания генеральной совокупности. Чему равна дисперсия оценки? Выведите формулу для дисперсии оценки. Докажите состоятельность этой оценки. Что Вы можете сказать об ее эффективности?

2. Подтвердите Ваши выводы экспериментально.
Изучите поведение случайной величины Х, значения которой получаются как результат усреднения сотни реализаций случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [-N, N], где N - номер Вашего компьютера. Такие выборки наблюдаются 1000 раз.
Проще всего эти серии опытов можно реализовать с помощью матрицы x=rand(100,1000); (внимание (!) здесь речь идет о равномерном на отрезке [0,1] распределении), а средние X можно получить суммированием X=sum(x)/100. Вычислите выборочное среднее MX и выборочную дисперсию DX массива X, сравните с вычисленными теоретически и покажите Ю.П.

Вспомните следствие из центральной предельной теоремы и оцените выборочную дисперсию DX с помощью правила трех сигм.

Постройте гистограмму массива X и убедитесь в том, что гистограмма близка к плотности нормального закона. С какими параметрами? Постройте соответствующую плотность распределения и наложением (после некоторых размышлений) этих графиков продемонстрируйте Ю.П. вышеупомянутое следствие из центральной предельной теоремы.

Подтвердите Ваши выводы с помощью выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.

3. Повторите действия п.2 для нормальной генеральной совокупности с параметрами N и sqrt(N), где N - номер Вашего компьютера.


Приложения:

для нормальной генеральной совокупности

x=randn(100,1000);
X=sum(x)/100;
hist(X)
MX=mean(X)
DX=sum((X-MX).^2)/1000
dx=sqrt(DX)
(max(X)-min(X))/6
EX=(sum((X-MX).^4)/1000)/(DX^2)