Шпаргалки / Шпаргалки (Бардушкин) / Шпаргалки в Word / Шпора5

26. Показательное (экспоненциальное) распределение.

Опр. СВНТ Х называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром , если .

Найдем – ?

Замечание.

Среднее квадратическое отклонение для экспоненциального распределения совпадает с МО.

Найдем и построим ее график

I Случай

.

II Случай

Показательное распределение тесно связано с простейшим стационарным Пуассоновским потоком событий.

Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке, имеет показательное распределение с параметром  равным интенсивности потока.

Найдем .

Для того, чтобы подсчитать эту вероятность нужно, чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины t.

Продифференцировав , получим

Показательное распределение играет большую роль в Марковских случайных процессах, теории массового обслуживания и теории надежности.

28.Оценка отклонения теоретического распределения от нормального; асимметрия и эксцесс.

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики (асимметрию и эксцесс).

Для нормального распределения эти характеристики равны 0, поэтому, если для изучаемого теоретического распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот большие значения и , указывают значительные отклонения от нормального.

Пологая часть правее моды, значит .

Пологая часть левее моды, значит .

Замечание.

При исследовании эксцесса надо считать, что нормальное исследуемое распределение, имеют одинаковое МО и дисперсию.

27.Нормальное распределение

Опр. СВНТ Х называется распределенной по нормальному (Гауссовскому) закону с параметрами , если плотность распределения вероятности имеет вид.

Нормальное распределение задается двумя параметрами m и .

Докажем, что – ?

Доказательство:

.

. 

– стандартизованная нормальная величина.

Функция распределения стандартизованной нормальной величины.

Пример.

Дана СВ Х, . Найти вероятность попадания .

Решение.

Часто требуется вычислять вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ Х от МО по абсолютной величине меньше заданного положительного числа .

– ?

продолжение 27:

Методами математического анализа можно легко построить график плотности

Гауссова кривая:

S = 1

m – сдвиг по оси 0Х

 – параметр островершинности

Замечание.

Мода и медиана совпадают с МО.

продолжение 26:

Пример.

Время безотказной работы ЭВМ – это СВ Т, имеющая показательное распределение с параметром . Физический смысл  – это среднее число отказов в единицу времени, если не учитывать простоев ЭВМ. Известно, что ЭВМ уже проработало без отказов время . Найти при этом условии плотность распределения времени (время, которое ЭВМ проработает после момента , до ближайшего отказа).

Решение.

Так как простейший поток отказов не имеет последствия, то вероятность появления хотя бы одного отказа на участке (,  + t) не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента .

Найдем .

Вывод:

Таким образом распределение времени, оставшегося до следующего отказа, не зависит от того, сколько времени ЭВМ уже отработало без отказов.