Шпаргалки / Шпаргалки (Бардушкин) / Шпаргалки в Word / Шпора8
.doc
продолжение 37:
Замечание. Для независимых СВ линии регрессии Y на x и X на y параллельны координатным осям так как МО каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. Линии регрессии могут быть параллельны координатным осям и для зависимых СВ, когда МО каждой из них зависит от того, какое значение приняла другая. Так как все моменты начальные и центральные любых порядков представляют собой МО, то можно говорить об условных моментах. Например об условных дисперсиях , . 38.Двумерные нормальные распределения. Опр. Нормальным законом распределения на плоскости называется распределение вероятностей двумерной СВ , если Итак нормальный закон на плоскости определяется 5-ю параметрами: . Убедимся в том, что если компоненты X и Y не коррелированны, то они тогда и не зависимы.
Замечание: Для нормально распределенных компонент двумерной СВ понятие независимости и некоррелированности равносильны. Найдем условные законы распределения СВ X и Y воспользовавшись формулами.
. . Как легко видеть, каждый из условных законов распределения является также нормальных с условным МО и условной дисперсией вычисляемым по формуле:
Замечание. Из двух формул для условного МО видно, что для системы нормально распределенных X и Y, линии регрессии Y на x и X на y представляют собой прямые линии, то есть регрессия всегда линейна. В геометрической интерпретации график линейной формулы плотности представляет собой холмообразную поверхность. .
Сечение поверхности плоскостями параллельными плоскости XOY представляют собой эллипсы. продолжение 40: Так как производная интеграла по переменной z равна значению подынтегральной функции от верхнего предела умноженную на производную по z от верхнего предела , минус значение подынтегральной функции от нижнего предела на производную по z от нижнего предела.
|
39. Закон распределения функции одного случайного аргумента. для СВДТ:
Пусть теперь СВ X – непрерывна и функция – функция плотности.
Найдем закон распределения СВ Y, но при этом ограничимся случаем, когда функция строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (a, b) всех возможных значений СВ X. СВ Y будет определяться по формуле . монотонно возрастает на (a, b).
– функция обратная к функции .
.
1) – монотонно возрастает
2) – монотонно убывает на (a; b)
Дифференцируя по y, получим
Пример 1 СВ Х распределена непрерывно с функцией плотности . Пусть .
продолжение 39: Найти – ?
(*) Пример2. СВ . Пусть . Выяснить, как выглядит функция плотности и какому закону она подчиняется.
. Итак в результате линейного преобразования нормально распределенной СВ Х, получается СВ Y распределенная по нормальному закону с параметрами. ().
|
40.Функции от многомерных СВ. Формула композиции. Функция от многомерной СВ определяется точно также, как и функция от одномерной СВ. Мы рассмотрим это понятие на примере двумерной СВ. Пусть на вероятностном пространстве (, A, P), задана двумерная СВ (X, Y). Предположим, что у нас имеется измеренная числовая функция числовых аргументов X и Y. СВ , назовем функцией от двумерной СВ (X, Y). а) Функция от двумерной дискретной СВ (X, Y) снова является дискретной СВ, принимающей значения с вероятностями . Чтобы построить ряд распределения СВ надо: 1) Исключить все те значения , вероятность которых равна нулю; 2) Объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность. Пример Рассмотрим СВ –суммарное число успехов в двух независимых опытах с одной и той же вероятностью p в каждом отдельном опыте. Тогда , где – количество успехов в первом опыте, а – количество успехов во втором опыте, а . Поскольку и принимают только два значения 0 или 1, тогда : :
б) В случае когда СВ (X, Y) непрерывного типа с плотностью , функция распределения будет определяться формулой
Область интегрирования здесь состоит из всех точек (x, y) для которых . Особо важным для практики представляется случай, когда X и Y – независимые СВ, а функция Z=X + Y, тогда . Получается так называемая формула композиции: - ф-я плотности композиции от х. - ф-я плотности композиции от у.
Интеграл (*) вычисляется, как повторный, поэтому
. Дифференцируя по z получаем
– формулы композиции (свертки). С помощью этих формул легко выражаются формулы плотности и функции распределения суммы независимых СВ. Пример Пусть X и Y – независимы. – функция распределения Х, а Y имеет плотность Получить функцию распределения и функцию плотности суммы X + Y.
;
37. Условное МО . Регрессия. Опр. Условным математическим ожиданием одной из СВ входящих в систему (X; Y) называется ее МО вычисленное при условии, что другая СВ приняла определенное значение. Замечание. То есть МО найденное на основе условного закона распределения. Если СВ дискретные, то
Если СВ X и Y непрерывные, то
Опр: называется регрессией Y на x. называется регрессией X на y. Графики этих зависимостей от x и от y называются линиями регрессии или кривыми регрессии.
Пример:
Построить линии регрессии Y на x и X на y.
|