Шпаргалки / Шпаргалки (Бардушкин) / Шпаргалки в Word / Шпора12

57. Критерий и его применение.

Критерий применяется в частности для проверки гипотез о виде распределения генеральной совокупности.

Процедура применения критерия для проверки гипотезы H₀, утверждающей, что СВ Х имеет закон распределения состоит из следующих этапов.

Этапы:

1. По выборке найти оценки неизвестных параметров предполагаемого закона .

2. Если Х–СВДТ – определить частоты , i = 1, 2, …, r, с которым каждое значение встречается в выборке.

Если Х–СВНТ – разбить множество значений на r – непересекающихся интервалов и попавших в каждый из этих интервалов .

3. Х–СВДТ вычислить .

Х–СВНТ вычислить .

4. .

5. Принять статистическое решение.

– гипотеза Н₀ – принимается.

– гипотеза Н₀ – отклоняется.

e – количество оцениваемых параметров.

Малочисленные частоты надо будет объединять.

Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.

n = 200

А;

1.

2.

k = 10 – 2 – 1 = 7

– нет основания отвергать гипотезу о том, что выборка взята из генеральной совокупности и имеет равномерное распределение.

59. Переходные вероятности.

Матрица перехода. Далее будем рассматривать только однородные цепи Маркова, в которых условная вероятность появления события при условии, что в предыдущем S-ом испытании осуществилось не зависит от номера испытания.

Назовем эту вероятность – вероятностью перехода и обозначим .

Полную вероятностную картину возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к следующему можно задать с помощью матрицы

– матрица перехода

Замечание.

1. Очевидно, что .

2. Из того, что при переходе из состояния система обязательно переходит в одно из состояний , следовательно, в матрице перехода .

Опр. Любая квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют следующим требованиям:

, называется стохастической.

Одной из главных задач в теории цепей Маркова является задача определения вероятности перехода .

Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером (S+m). В этом испытании осуществится какое-либо одно из возможных событий , тогда вероятность перехода , а вероятность перехода .

По формуле полной вероятности получим

(*)

Обозначим через

Согласно формуле (*) получаем, что .

В частности, когда n = 2, получаем

n = 3

Отметим частный случай формулы (*), когда m = 1

.

Пример 2 Процесс блуждания с отражением.

Пусть частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты времени Частица может находиться в точках с целочисленными координатами . В точках a, b находятся отражающие стенки, каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью p, а влево с вероятностью q, если только частица не находится у стенки. Если частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на 1 внутрь промежутка между стенками.

Получается цепь Маркова с конечным числом состояний.

Аналогично можно рассматривать ситуации, когда частица прилипает к одной из стенок, этот процесс блуждания с поглощением.

Лекция № 23

Пример 3.

Вероятности перехода даются матрицей

Чему равно число состояний в системе?

Ответ: 3.

Найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага:

58. Марковская зависимость испытаний.

Определение цепи Маркова.Непосредственным обобщением схемы независимых испытаний является схема цепей Маркова.

Пусть производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществляться одно и только одно из k несовместных событий.

верхние индексы обозначают номер испытания.

Опр. Последовательность испытаний образует простую цепь Маркова, если условная вероятность в испытании, где осуществится событию , зависит только от того, какое событие произошло при S-ом испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях.

Замечание. Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой физической системе S, которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний и меняет свое состояние только в моменты

Для цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние , в момент времени t_S зависит только от самого и того, в каком состоянии система находилась в момент времени и не изменяется оттого, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты времени.

Пример 1. В модели Бора атома водорода, электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим, через – электрон находится на i орбите и предположим, что изменение состояние атома может наступать только в моменты (в действительности эти моменты представляют собой СВ), то тогда вероятности перехода с i орбиты на j орбиту в момент времени t_S зависит только от i и j и не зависит от того на каких орбитах находился электрон в «прошлом».

Разность (i–j) зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент времени t_S.

Это пример цепи Маркова с бесконечным числом состояний.

продолжение 26:

Пример.

Время безотказной работы ЭВМ – это СВ Т, имеющая показательное распределение с параметром l. Физический смысл l – это среднее число отказов в единицу времени, если не учитывать простоев ЭВМ. Известно, что ЭВМ уже проработало без отказов время t. Найти при этом условии плотность распределения времени (время, которое ЭВМ проработает после момента t, до ближайшего отказа).

Решение.

Так как простейший поток отказов не имеет последствия, то вероятность появления хотя бы одного отказа на участке (t, t + t) не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента t.

Найдем .

Вывод:

Таким образом распределение времени, оставшегося до следующего отказа, не зависит от того, сколько времени ЭВМ уже отработало без отказов.