Шпаргалки / Шпаргалки (Бардушкин) / Шпаргалки в Word / Шпора10
.doc
46.Выборка и способы ее представления Задачи математической статистики. Установления закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных (результатов наблюдений 1. Задача математической статистики Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально составленных экспериментов. 2. Задача математической статистики 1) Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:
2) Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения вид, которого известен. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Выборка и способы ее представления: Математическая статистика позволяет получить обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах СВ о конечной совокупности наблюдений над этими величинами. Выборка понимается следующим образом. Пусть СВ Х наблюдается на каком либо эксперименте, повторим этот эксперимент n раз при одинаковых условиях. Получаем , где каждая – СВ соответствующая j-му эксперименту. Очевидно, что – независимые в совокупности СВ, причем каждая из этих СВ имеет один и тот же закон распределения, что и СВ Х. Опр. Закон распределения СВ Х называется распределением генеральной совокупности. СВ вектор называется выборочным вектором, а конкретные числа , получаемые на практике при n кратном повторении эксперимента в неизменных условиях представляет собой реализацию выборочного вектора и называются выборкой объема n. Что такое вариационный ряд, размах выборки, статистический ряд, группированный статистический ряд, частоты, относительные частоты, накопленные частоты, относительные накопленные частоты, всевозможные полигоны и гистограммы, а также, что такое эмпирическая функция распределения изучили самостоятельно.
49. Линии регрессии Для СВ X и Y. Регрессией Y на X называется условное МО . используется для предсказания значения СВ Y по фиксированному значению СВ X. Если , то говорят о линейной регрессии Y на X. – прямая регрессии. Оценки параметров линейной регрессии по выборке , где , можно получить, используя МНК из условия минимума суммы .
– выборочные коэффициенты регрессии.
. Выборочная линейная регрессия Y на X. Аналогично рассматривается X на Y.
.
Обе прямые регрессий пересекаются в точке с координатами . Угол между этими двумя прямыми уменьшается при увеличении коэффициента корреляции. При обе прямые совпадают. Замечание. Прямые и должны быть различны.
|
50,51 Точечные оценки параметров распределения Общее: и для 50 и для 51: Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра . Нужно по наблюдениям оценить параметр. Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений. Примеры статистик. . Эта оценка . Будет рассматриваться, как приближенное значение параметра . Замечание. Как правило, для оценки параметра можно использовать несколько статистик, получая при этом различные значения параметра . Как измерить «близость» оценки к истинному значению ? Как определить качество оценки? Комментарий: Качество оценки определяется не по одной конкретной выборке, а по всему мыслимому набору конкретных выборок, т.е. по случайному выборочному вектору , поэтому для установления качества полученных оценок моментов , следует во всех этих формулах заменить конкретные выборочные значения на СВ Xi.
. Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования). Требования, предъявляемые к точечным оценкам: 1. Несмещенность, т.е. . Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной. Иногда оценка бывает смещенной, но асимптотически несмещенной, т.е. . 2. Состоятельность, т.е. . Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются. 3. Эффективность. а) Если оценки и – несмещенные, то и . Если , то оценка более эффективна, чем . б) Если оценки и – смещенные, тогда и . Если , то оценка более эффективная, чем . Где – средний квадрат отклонения оценки. Рассмотрим использование этих свойств на примерах выбора оценок МО и дисперсии: 50. Выборочное среднее: является несмещенной и состоятельной оценкой МО генеральной совокупности , причем каждое Xi совпадает с m и 2. а) Несмещенность. По определению выборочного вектора , причем Xi – независимые в совокупности СВ, тогда вычислим
.
.
продолжение 50:
б) Состоятельность Воспользуемся неравенством Чебышева:
Применим это неравенство к
При n , что и доказывает состоятельность . 51. Выборочная дисперсия Докажем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности.
Выполним следующие преобразования
; . Найдем МО для дисперсии:
. . МО не совпадает с 2, а отличается на – смещение. Таким образом эта оценка занимает в среднем истинное значение дисперсии на величину , правда это смещение сходит на нет при n . Чтобы устранить это смещение надо «исправить» дисперсию.
. Можно доказать, что статистика S2 является и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности. Замечание. К сожалению, на практике при оценке параметров не всегда оказывается возможным одновременное выполнение требований: несмещенности, эффективности и состоятельности.
|
48.Статистическое описание и вычисление оценок параметров распределения системы двух СВ. Пусть исход некоторого эксперимента описывается двумя СВ (X; Y). Предварительное представление о зависимости между X и Y можно получить, нанося элементы двумерной выборки , в виде точек на плоскость с выбранной системой координат. Такое представление называется диаграммой рассеяния. Опр. Распределением двумерной выборки называется распределение двумерного дискретного СВ случайного вектора, принимающего значения с вероятностями . Выборочные числовые характеристики вычисляются как соответствующие числовые характеристики двумерного дискретного случайного вектора. Если объем выборки небольшой, то тогда вычисления проводятся в следующей последовательности: 1. . Контроль . 2. Суммы квадратов отклонений от среднего и произведения отклонений от среднего
. 3.
.
47.Числовые характеристики выборки Пусть выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения . Рассмотрим выборочное распределение, т.е. распределение дискретной СВ, принимающей эти значения с вероятностями, равными . Соответственно числовые характеристики этого выборочного распределения называют выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками. Замечание. Выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности. “~” – при обозначении этих числовых характеристик. . .
– унимодального, т.е. одновершинного распределения называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой. Выборочной медианой называется , которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число элементов. Если n – нечетное число, т.е. n = 2l+1, то . Если n – четное число, т.е. n = 2l, то . Можно доказать, что выборочные начальные и центральные моменты порядка s для негруппированных выборок объема и определяются по следующим формулам . Форма распределения СВ характеризуется выборочными коэффициентами асимметрии и эксцесса. .
|