Лекции / Лекции (ЭКТ-2, Бардушкин) / Лекции в Word (2003) / Лекция 02

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция № 2

§ 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности

Рассмотрим случай конечного вероятностного пространства. В этом случае  состоит из конечного числа элементарных событий .

 = {}

A – алгебра всех подмножеств  (ввиду конечности вероятностного пространства алгебра автоматически является -алгеброй), тогда вероятность для любого подмножества задаем следующим образом.

Пусть заданы неотрицательные числа , которые удовлетворяют следующему требованию , тогда вероятность события (*) (способ введения вероятности на конечном вероятностном пространстве).

Очевидно, что так определенная вероятность вместе будет удовлетворять всем аксиомам.

Обозначим через – количество элементов в множестве .

Частным случаем определения вероятности по формуле (*) будет так называемое классическое определение вероятностей, когда все будут равны друг другу, так как

; – формула классической вероятности (**)

Замечание

Модель вероятностного пространства, приводящая к классическому определению вероятностей, когда элементарные события обладают свойствами «симметрии».

Пример.

Бросается кубик на стол.

₁ = {выпадает 1}

₂ = {выпадает 2} – свойства симметрии

§ 5. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это наука о том, сколько различных комбинаций удовлетворяющих условиям можно составить на элементах конечного множества.

Комбинаторные схемы

1. Правила суммы и произведения

Правило суммы

– конечное множество

– количество элементов.

Объект из может быть выбран n-способами. Пусть попарно непересекающиеся множества, то есть тогда очевидно выполняется равенство.

– правило суммы

Правило произведения

Если объект может быть выбран m-способами и после каждого из таких выборов объект может быть выбран n-способами.

Тогда выбор упорядоченной пары может быть осуществлен – mn способами.

Доказательство:

Воспользуемся правилом суммы.

– множество элементов, из которых выбирается объект .

, рассмотрим множество , тогда первая компонента совпадает с . Множества попарно не пересекаются.

Множество пар

В общем случае правило произведения формируется следующим образом:

Если объект может быть выбран – способами, после чего объект может быть выбран способами и , где после выбора объектов объект может быть выбран -способами, то выбор упорядоченной последовательности может быть осуществлен способами.

Доказательство проводится методом математической индукции.

2. Размещения и сочетания

Набор элементов xi₁, xi₂, …, xi_n из множества называется выборкой объема r из n-элементов <n, r>-выборка.

Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан.

Замечание

Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными.

Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

Упорядоченная <n, r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется <n, r>-размещением с повторениями.

Упорядоченная <n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>-размещением без повторений (<n, r>-размещением).

Замечание

<n, n>-размещения без повторений называются перестанов-ками множества .

Неупорядоченная <n, r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется <n, r>-сочетанием с повторениями.

Неупорядоченная <n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>-сочетанием без повторений (<n, r>-сочетанием).

Замечание

Любое <n, r>-сочетание можно рассматривать, как r-элемент-ное подмножество n-элементного множества.

Пример

<5,3> - сочетание без повторений.

Пример

1) - множество <3,2>-размещений с повторениями (9 пар).

2) - множество <3,2>-размещений без повторений (6 упорядоченных пар).

3) - множество всех <3,2>-сочетаний с повторениями.

4) - множество всех <3,2>-сочетаний без повторений (2-х элементные подмножества 3-х элементного множества).

1. = = 3² = 9

2.

3. = = 6

4.

Теорема 1

=

Доказательство:

Каждое <n,r>-размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины r

Причем каждый элемент этой последовательности может быть выбран n-способами.

По правилу произведения получаем

= .

Теорема 2.

.

Доказательство:

Каждое <n,r>-размещение без повторений является упорядоченной последовательностью длины r.

По правилу произведения получаем

.

Теорема 3.

Доказательство:

Каждое <r,r>-сочетание без повторений можно упорядочить r!-способами.

Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств <n,r>-размещений без повторений для всевозможных <n,r>-сочетаний без повторений, даст все <n,r>-размещения без повторений.

(суммирование производится по всевозможным <n,r>-сочетаниям без повторений).

.

Теорема 4.

=

Пример

Пример

Доказательство:

Каждому <n,r>-сочетанию (В) с повторениями, составленного из элементов множества поставим в соответствие вектор длины r+n–1, состоящего из r-единиц и n–1нулей, такой, что число единиц между (i–1)-м и i-м нулями, где 2  i  n–1 будет равно числу элементов , входящих в сочетание В.

Число единиц, стоящих перед первым нулем равно числу элементов , а число единиц, стоящих после (n–1) нуля равно числу элементов , входящих в В.

Это соответствие между В и будет взаимнооднозначным.

Поэтому, чтобы подсчитать количество <n,r>-сочетаний с повторениями достаточно подсчитать количество векторов .

Количество векторов равно числу r-элементных подмножеств r+n–1-элементного множества.

=.