Лаб.раб. по механике / ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Освоить один из способов экспериментального определения моментов инерции тел;

2. Убедиться в справедливости теоремы Штейнера.

ОБОРУДОВАНИЕ: экспериментальная установка, набор исследуемых грузов, измерительные инструменты.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

1. Центром инерции (или масс) системы материальных точек называется точка, координаты которой определяются формулами

(7.1)

Здесь () – координаты материальной точки с массой . Если система материальных точек находится в однородном гравитационном поле, то центр инерции совпадает с центром тяжести системы

.

У твердых тел правильной формы центр инерции находится в их геометрическом центре.

2. Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется физическая величина, определяемая соотношением . Здесь - масса материальной точки, а - расстояние от точки до оси вращения.

3. Моментом инерции системы материальных точек относительно оси вращения называется сумма моментов инерции отдельных точек относительно той же оси вращения .

4. Твердое тело – это такая система материальных точек, у которой расстояния между отдельными материальными точками в процессе движения (вращения) твердого тела не изменяются.

5. Благодаря такому свойству твердых тел их моменты инерции (особенно для тел правильной формы) имеют простой вид. Например:

а). Момент инерции сплошного диска (цилиндра) относительно его геометрической оси равен . Здесь - масса диска, - его радиус.

б). Момент инерции стержня длиной и массой относительно оси, проходящей через центр инерции (середину стержня) равен .

6. Наиболее просто (методом дифференциального и интеграль-ного исчисления) вычисляются моменты инерции тел относительно осей, проходящих через центр инерции тела. Но часто приходится находить момент инерции тела относительно осей, не проходящих через центр инерции. В этом случае вычисление моментов инерции тел существенно упрощает теорема Штейнера, математическое выражение которой имеет вид . Здесь - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции; - момент инерции тела относительно оси, параллельной первой и смещенной на расстояние ; - масса тела. Например, для стержня (рис.7.1) момент инерции относительно оси, проходящей через точку А, равен

7. Физическим маятником называется любое твердое тело, которое может

колебаться вокруг некоторой оси (рис.7.2). Через точку О проходит ось, вокруг которой колеблется маятник. На маятник действуют две внешние силы: сила реакции опоры в оси (на рисунке не изображена) и сила тяжести , приложенная в центре тяжести. Важнейшей характеристикой физического маятника является период его колебаний, определяемый соотношением

(7.2)

Здесь - момент инерции маятника относительно оси колебаний;

- масса маятника;

- расстояние от оси О до центра тяжести маятника.

Данная формула справедлива только для незатухающих (нет сил трения) малых () колебаний маятника. Конечно же, при колебаниях всех маятников возникают силы трения, но если затухание колебаний невелико, то формулой (7.2) пользоваться можно. Формуле (7.2) можно придать вид формулы периода колебаний математического маятника, если ввести обозначение

(7.3)

Расстояние (О₁ – некоторая точка маятника) называется приведенной длиной физического маятника. (Очевидно, что для математического маятника приведенная длина совпадает с обычной длиной маятника.) Если физический маятник заставить колебаться вокруг оси, проходящей через точку О₁, то его период будет такой же, как и для точки О. Период колебаний относительно других осей будет различный.

ТЕОРИЯ МЕТОДА. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ

Физический маятник в данной работе – это брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, который с малым трением может колебаться вокруг горизонтальной оси. На бруске имеются приспособления (винты), к которым можно прикреплять дополнительные тела – металлические цилиндры на различных расстояниях от оси вращения. Если маятник колеблется без дополнительных тел, то его период определяется по формуле (7.2). Если теперь тело массой m₁ прикрепить на расстоянии d₁ от оси вращения, то период колебания будет

.

Здесь I₁ – момент инерции тела относительно оси вращения;

- расстояние от оси вращения до центра инерции маятника с телом.

Величину найдем по формуле (7.1), определяющей координату центра инерции системы тел . Следовательно, период колебания маятника с телом будет равен

(7.4)

Если тело m₁ прикрепить на расстоянии d₂ от оси вращения, то период колебания будет

(7.5)

Здесь I₂ – момент инерции тела в новом положении относительно оси вращения. Из формул (7.2–7.5) легко получить, что

;. (7.6)

Таким образом приращение момента инерции тела равно

(7.7)

С другой стороны, по теореме Штейнера имеем ; .

Здесь I₀ – момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси. Следовательно,

(7.8)

Итак, величину можно определить экспериментально (7.7) и теоретически (7.8). В пределах погрешности эти величины должны совпадать.

Задания

1. Измерьте геометрические размеры физического маятника и найдите его момент инерции относительно оси вращения по формуле .

2. Найдите период колебаний маятника по формуле . Здесь t – время, за которое маятник сделает N полных колебаний. По формуле (7.2) подсчитайте величину I и сравните с теоретически вычисленным значением (задание 1).

3. Найдите период колебаний маятника (как в задании 2) с дополнительным телом, помещенным на расстояния d₁ и d₂.

4. Определите величину по формулам (7.7) и (7.8).

5. Оцените погрешность измерения .

6. Сравните полученные результаты.

7. Определите приведенную длину физического маятника без груза и с грузом.

Контрольные вопросы.

1. Что такое физический маятник? Как определяется период его колебаний?

2. Что называется моментом инерции тела относительно некоторой оси? От чего он зависит? Как найти момент инерции тела?

3. В чем заключается теорема Штейнера. Для чего она нужна? Приведите примеры применения теоремы Штейнера.

4. Что такое центр инерции системы материальных точек? Где находится центр инерции у следующих фигур (твердых тел): сплошной диск, кольцо, квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник, произвольный треугольник?

5. Какой физической величине в поступательном движении тела аналогичен момент инерции во вращательном?

6. Как можно изменить момент инерции тела? Приведите примеры.