Пример
Показать, что в случае β -распада изотопа 42Sc
происходит разрешенный переход типа Ферми, а в случае изотопа 32P — переход типа Гамова-Теллера.
К разрешенным β -переходам относятся пере-
ходы, при которых суммарный орбитальный
момент l, уносимый электроном и нейтрино, равен
нулю. Разрешенные переходы делятся на переходы типа Ферми, при которых спины электрона и нейтрино антипараллельны, и типа ГамоваТеллера, при которых спины электрона и нейтрино параллельны. Для разрешенных β -переходов
справедливы соотношения
Ji |
+ J f |
= 0, Pi = Pf для переходов Ферми, |
Ji |
+ J f |
= 0,1 (кроме 0 → 0 переходов), Pi = Pf для |
переходов Гамова-Теллера, i и f обозначают
начальное и конечное ядро.
Рассмотрим переход 42Sc(0+)+e− →42Ca(0+)+νe :
для него Pi = Pf и Ji + J f = 0, то есть выполнены
все условия для перехода типа Ферми.
Рассмотрим переход 32P(1+)→32Sc(0+)+e− +νe : для него Pi = Pf и Ji + J f =1, то есть все условия
для перехода типа Гамова-Теллера выполнены.
β-распад.
Кулоновскийбарьер
Длина волны вылетающих из ядра лептонов R +a (a - ширина кулоновского барьера).
Поэтому кулоновский барьер практически не влияет на вероятность β-распада. Образовавшиеся
электроны (позитроны) сразу имеют ненулевую вероятность нахождения вне ядра. Влияние кулоновских сил сводится к тому, что вылетевшие электроны тормозятся, а позитроны ускоряются кулоновским полем ядра, что приводит к изменению формы их спектров.
Искажение, вносимое в форму β-спектра
кулоновским полем атома, особенно существенно в начале спектра для частиц с малой энергией. При этом центр тяжести кривой распределения смещается в сторону малых энергий для электронов и больших энергий для позитронов. Это смещение тем больше, чем больше заряд ядра.
Спектрэлектронов β-распада
Энергетический спектр электронов β-распада
dNe (Qβ ,Te ) |
|
M fi |
|
2 |
|
(Te |
+2mec |
2 |
) |
1/ 2 |
× |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Te |
|
|
, |
||||||
|
|
×(T +m c2 )(Q −T )2 dT |
||||||||||
|
|
|
|
e |
|
e |
β |
|
e |
|
e |
|
Te - кинетическая энергия электрона, Qβ - энергия β-распада,
mec2 - энергия покоя электрона,
M fi - матричный элемент β-распада.
Спектрэлектронов β-распада
Форма β-cпектра определяется плотностью конечных состояний ρ( p,q) и квадратом матричного
элемента β-распада M fi
M fi = ∫ψ*f Vfiψidv,
Vfi - гамильтониан слабого взаимодействия,
ψi и ψ*f - волновые функции начального и конечного
состояний системы.
В начальном состоянии существует ядро, описываемое волновой функцией ϕi , а в конечном -
ядро, электрон и антинейтрино, описываемые волновыми функциями ϕf , ϕe , ϕν . Считая, что
конечное ядро, электрон и антинейтрино не взаимодействуют друг с другом, получаем следующее выражение для волновой функции конечного
состояния системы: ψ f =ϕf ϕeϕν .
Матричный элемент бета-распада
M fi = ∫ϕ*f ϕe*ϕν*Vfiϕidv
В первом приближении потенциал взаимодействия можно заменить константой Ферми слабого
взаимодействия GF :
M fi =GF ∫ϕ*f ϕe*ϕν*ϕi dv .
Если пренебречь взаимодействием электрона и антинейтрино с окружающими частицами, то в качестве их волновых функций можно выбрать плоские волны:
ϕe = exp(−ipr / ), ϕν = exp(−iqr / ),
p и q — импульсы электрона и антинейтрино.
Плотностьконечныхсостояний
Плотность состояний ρ( p,q) свободного
движения электрона и антинейтрино
ρ( p, q) = |
1 4π p2dp 4πq2dq |
|
||||
|
|
|
|
|
||
dQ (2π )3 |
(2π )3 |
, |
||||
|
||||||
|
β |
|
|
|||
p и q - импульсы электрона и антинейтрино.
Пренебрегая энергией отдачи ядра, запишем
Qβ =Te +Tν , dQβ = dTe = dTν
Te и Tν - кинетические энергии электрона и
антинейтрино.
В случае массы антинейтрино равной нулю
|
(Te |
+ 2mc |
2 |
1/ 2 |
/ c, |
c |
2 |
pdp = (Te + mc |
2 |
)dTe |
, |
p = Te |
|
) |
|
|
q = (Qβ −Te ) / c, dq =Tν / c.
Врезультате получим
ρ(Te ) p(Te +mec2 )(Qβ −Te )dTe
,
Te - кинетическая энергия электрона.
Спектрэлектронов β-распада
Соотношение
dNe (Qβ ,Te ) |
|
M fi |
|
2 |
|
(Te +2mec |
2 |
1/ 2 |
× |
|
||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Te |
|
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
×(T |
+ m c2 )(Q |
−T )2 dT |
|||||
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
β |
|
e |
e |
было получено в предположении, что масса антинейтрино mν = 0. В этом случае в высоко-
энергетической части спектра электронов dNe / dTe →0. Однако, если mν ≠ 0 для высокоэнергетичной части
спектра электронов, когда энергия антинейтрино мала, нужно записать
q2 = 2m T , |
qdq = m dT . |
|
|
|
||||||||
|
|
ν |
ν |
|
ν |
ν |
|
|
|
|
||
dNe (Qβ ,Te ) |
|
M fi |
|
|
2 |
|
|
2 |
1/ 2 |
× |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Te (Te +2mec |
|
) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
×(T |
+ m c2 )(Q |
−T )1/ 2 dT |
||||
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
β |
|
e |
e |
При ненулевой массе антинейтрино верхняя граница энергии β-спектра должна быть смещена влево на
энергию покоя антинейтрино. Измерения энергетического спектра электронов вблизи верхней границы показывают, что масса антинейтрино < 3 эВ.
β-распад
Вероятность β-распада получается интегрированием β-спектра по энергии.
|
1 |
|
Qβ |
|
|
|
|
λ = |
≈ |
∫ |
T 2 |
(Q −T )2 dT ≈Q 5 |
|||
|
τ |
|
e |
β e |
e |
β |
|
|
|
|
|
||||
Такая |
|
|
0 |
|
|
вероятности |
|
|
|
зависимость |
|||||
β-распада от энергии, выделяющейся при β-распаде, характерна не только для β-распада, но и для других слабых
распадов и носит название правила Сарджента.
β-распад ядер
Нечетные А |
Четные А |
Зависимость энергий связи ядер от массового числа А имеет вид одной параболы для нечетных значений А (левый рисунок) и двух парабол для четных значений А. В случае четных значений А на верхней параболе располагаются значения энергии связи для четно-четных ядер, а на нижней — для нечетно-нечетных. На вершинах парабол располагаются наиболее устойчивые к β-
распаду изотопы при данном значении массового числа А.
Пример. β-распады изотопов
A=27
Пример. β-распады изотопов
A=89
Пример. β-распады изотопов
A=34