Пример
Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле 40Ar образовался из 40K в результате e-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов 40Ar приходится один атом 40K.
Число нераспавшихся к настоящему времени ядер 40K
NK = NAr / 300 = N0e−t ln 2 /T1/ 2 ,
N0 — начальное число ядер 40K в момент образования Земли, t - возраст Земли.
T1/ 2 — период полураспада 40K, составляющий
1,277·109 лет. При радиоактивном распаде 40K путем e- захвата распадается только 10,67% ядер, поэтому число ядер аргона к настоящему времени будет
NAr =0,1067N0 (1−e−t ln 2 /T1/ 2 ).
Получаем уравнение
300N0e−t ln 2 /T1/ 2 =0,1067N0 (1−e−t ln 2 /T1/ 2 ),
откуда |
0,1067 |
|
1,277 109 лет |
|
|
|
|
|
|
|
1010 |
|
|||
t = −ln |
|
|
|
|
≈1,5 |
лет. |
|
300 +0,1067 |
|
ln 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Разрешенныеи запрещенные β-распады
Бета-распады разделяются на разрешенные и запрещенные, различающиеся вероятностями переходов. К разрешенным переходам относятся переходы, при которых суммарный орбитальный
момент l, уносимый электроном и нейтрино,
равен нулю. Запрещенные переходы подразделяются по порядку запрета, который определяется орбитальным моментом l .
l =1 — запрещенный переход первого порядка,
l = 2 — второго порядка и т. д.
Отношения вероятностей вылета частицы с орбитальными моментами l = 0 (w0 ) и l ≠ 0 (wl )
w / w ≈ (R / |
)2l |
|
l |
0 |
, |
R - радиус ядра, |
- длина волны. |
|
Бета-распады также делятся на переходы типа Ферми, при которых спины вылетающих лептонов антипараллельны, и переходы типа Гамова-Теллера, при которых спины вылетающих лептонов параллельны.
Разрешенныеи запрещенные β-распады
Сильную зависимость вероятности бета-переходов от орбитального момента вылетающих лептонов можно понять из следующего качественного рассмотрения. На ядро с радиусом R налетает частица с импульсом p и прицельным параметром b. Классический момент импульса pb равен величине орбитального момента
pb = l(l +1) .
Для прицельного параметра b в классическом приближении должно выполняться условие
b = l(l +1) / p < R.
Для лептонов в релятивистском случае
c l(l +1) /T < R,
T — кинетическая энергия вылетающего лептона.
Радиусы даже самых тяжелых ядер меньше 10 Фм. Положив радиус равным 10 Фм, а энергию β-распада 20 МэВ, получим
200 МэВ Фм l(l +1) / 20 МэВ<10 Фм.
Видно, что орбитальный момент вылетающих при бетараспаде лептонов при квазиклассическом рассмотрении может быть только нулевой, а переходы с l ≠ 0 запрещены. Однако квантовые свойства частиц приводят к тому, что такие запрещенные переходы происходят, хотя они и сильно подавлены.
w / w ≈ (R / )2l |
|
l |
0 |
β-распад.
Правилаотбора
Для разрешенных переходов l = 0.
В этом случае волновые функции лептонов сферически симметричны и поэтому лептоны вылетают в различных направлениях с одинаковой вероятностью. Правила отбора для полного момента и четности
Ji − J f ≤ se + sν +l ≤ Ji + J f ,
Pi = Pf (−1)l ,
l - суммарный орбитальный момент пары
лептонов,
Ji , Pi , J f , Pf - спины и четности начального
и конечного ядер,
se , sν - спины лептонов.
Вероятность β-переходов в основном
определяется минимальным орбитальным моментом пары лептонов lmin ,
удовлетворяющим правилам отбора.