Лекции / 23

Вопрос 23.

Линейная регрессия. Корреляционное поле. Теоретические уравнения регрессии. Эмпирические уравнения регрессии. Коэффициэнты регрессии. Оценка корреляционной связи между СВ.Проверка гипотезы о согласованности линейного уравнения регрессии с экспериментальными данными.

Предположим, что произведён эксперимент, в результате которого получено n значений СВ X и Y, т. е. получен набор точек , i = от 1 до n. Нанесём эти точки на плоскость и получим точечную диаграмму, которая наз. корреляционным полем. Если точки на плоскости группируются около прямой линии, то уравнение регрессии Y на X принимает вид: . Это уравненіе наз. теоретическим уравнением регрессии.

Требуется найти коэффициэнты этого уравнения так, чтобы функция т.е. принимала наименьшее значение. Эта задача решается методом наименьших квадратов. В результате его применения для нахождения коэффициэнтов получаем систему:

Введём обозначения: , , , .

Система принимает вид:

.

Коэффициэнт наз. коэффициэнтом регрессии Y на X.

Аналогично выводится теоретическое уравнение регрессии X на Y: , в котором коэффициэнт наз. коэффициэнтом регрессии X наY.

Уравнение регрессии можно записать в виде:

- коэффициэнты регрессии Y на X и X наY.

Тесноту корреляционной связи между СВ X и Y определяют с помощью корреляционного отношения и . ции енками явл. эмпирический ции эффициэнтов м ниуравнение регрессии

.

Свойства:

1. Если СВ X и Y связаны линейной зависимостью (коэффициэнты регрессии ), то коэффициэнт корреляции = 1, если , то .

2. При отсутствии лин. зависимости между X и Y линия регрессии параллельна коорд. осям, а коэфф. корреляции =0.

3. Во всех остальных случаях .

Т. о. чем ближе коэф. корреляции по модулю к 1, тем теснее лин. зависимость между X и Y. Чем ближе он к нулю, тем эта зависимость слабее. Однако может оказаться, что при , между X и Y существует не линейная связь.

проверка гипотезы о согласованности линейного уравнения регрессии с экспериментальными данными.

Коэф. явл. точечными оценками теоретического или модельного ур-я регрессии :

Для того чтобы выяснить хорошо ли найдены эти точечные оценки поступают след. образом:

1. Вычисляют остатки

2. Вычисляют средние квадр. отклонения остатков характеризующих рассеяние эксперимент. точек относ. эмпир. линии регрессии , n-количество точек

3. Вычисляют среднее квадр. отклонение коэффициентов регрессии ,

4. Находят интервальные оценки коэф-тов модельного ур-я регрессии

,

,

где - коэфф-ты Стьюдента.

5. Находят эмпирический коэф-т корреляции . Квадрат эмпирич. коэф. корреляции наз. коэф-том детерминации

Коэ-т детерминации показывает процентное рассеяние точек объясняемое лин. регрессией Y на X (или X на Y)

Если =1, то между СВ X, Y сущ. функциональная лин.связь.

Если напр., =0,6, то 60% рассеяния объясняется лин. регрессией, а 40% остаются необъяснимыми.

6. Окончательное решение об адекватности лин. регрессии экспериментальным данным принимается на основании критерия Стьюдента ,

- уровень значимости

Если , то лин. регрессия модельной ф-ции выбрано удачно, т.е. согласуется с экспериментальными данными;

Если , то модельная ф-я подобрана плохо, т.е. не согласуется с данными эксперимента.

Замечание: доказано, что если точки ( возможные значения СВ (X,Y)) расположены вдоль прямой, то СВ (X,Y) распределена нормально.