7. Функциональная зависимость. Метод наименьших квадратов (МНК).

СВ Х и У, соответствующие двум качественным признакам объектов генеральной совокупности, могут быть связаны статистической, функциональной, корреляционной или какой-либо другой зависимостью или будут независимыми.

Функциональная зависимость выражается формулой: y=f(x). Пусть в результате эксперимента получено n-значений у (для СВ У), соответствующее значениям х (СВ Х),т.е. получаем набор точек (х_i, y_i), i=.

Требуется установить на основании этих данных вид функции y=f(x). Он установится либо из теоретических предположений, либо на основании расположения точек (х_i, y_i) на координатной плоскости.

Пусть, например, экспериментальные точки располагаются на координатной плоскости так, как показано на рисунках. Учитывая, что при проведении эксперимента имеют место погрешности, можно предположить, что в первом случае зависимость между признаками Х и У имеет вид y=ax+b, а во втором случае – y=ax²+bx+c.

В общем случае зависимость между признаками имеет вид y=f(x;a;b;c;…), где a,b,c… - параметры.

После того, как выбран вид функции f, задача заключается в нахождении коэффициентов a,b,c… таким образом, чтобы они описывали рассмотренный процесс в каком-то смысле, наилучшим способом. Для нахождения этих параметров применяется МНК.

Разность характеризует погрешность измерений наз. уклонением эмпирической функции.

Как известно, погрешность всех вычислений минимальна, если минимальна сумма погрешностей вычислений в каждой точке. Однако на практике эта сумма не удобна для использования, поэтому используют сумму квадратов отклонений, которые будут минимальны при тех же значениях a,b,c… , что и сумма отклонений.

Обозначим через . Задача заключается в нахождении таких значений a,b,c… , чтобы S(a,b,c…) было минимальным. Это задача мат. анализа. Коэффициенты a,b,c… находятся из системы:

Доказано, что найденные из этой системы a,b,c… наилучшим образом описывают эксперимент.

Пусть имеет место случай .

Составим сумму отклонений: ;

Составим систему:

Решение этой системы получаем методом Крамера, доказано,что при найденных знач.a,b,c, =Smin

Пример В результате эксперимента получена таблица значений:

Xi	1	2	3	4	5
Yi	1	4.8	12.3	18	27.9

Определим коэф.a,b,c МНК: , , , , , ,

Система Решаем методом Крамера: ; b=144.45; c=-549.6; .