Решение_задач_исследования_операций
.pdf1
Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова
Г. Л. Окунева, А. В. Борзенков, С. В. Рябцева
Решение задач
исследования операций
Учебное пособие
Белгород
2008
2
Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова
Г. Л. Окунева, А. В. Борзенков, С. В. Рябцева
Решение задач
исследования операций
Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия для студентов экономических специальностей
Белгород
2008
3
Содержание
Введение……………………………………………………………..……..4
Индивидуальные задания № 1..………………..…...………………….…5
Рекомендации по решению индивидуальных заданий № 1..………….16
Контрольные вопросы к индивидуальным заданиям № 1..…………...38
Индивидуальные задания № 2…..………………………………….…...40
Рекомендации по решению индивидуальных заданий № 2……….......55
Контрольные вопросы к индивидуальным заданиям № 2..……….…..89
Библиографический список….………………………………………......91
4
Введение
Настоящее пособие предназначено для студентов специальностей 080102, 080105,220701, изучающих на втором курсе разделы высшей математики «Экономико-математические модели и методы их решения». Материалы представленные в пособии, полностью соответствуют требованиям Государственных образовательных стандартов для этих специальностей.
Общеизвестным фактом является применение математики как универсального инструмента для решения научных и прикладных задач во всех областях экономики. Однако, чтобы этим инструментом овладеть, необходимо в период обучения в высшем учебном заведении уделять много внимания получению практических навыков в решении задач по высшей математике.
В пособии приведён справочный материал и подробные решения типичных задач экономико-математического моделирования. Большое количество задач позволит преподавателям использовать пособие для аудиторных занятий и для выдачи индивидуальных домашних заданий, а студентам поможет в их самостоятельной работе.
5
Индивидуальные задания № 1
Темы:
1)экономико-математическая модель задачи линейного программирования;
2)графическое решение задачи линейного программирования;
3)симплексный метод решения задачи линейного программирования;
4)решение задачи линейного программирования методом искусственного базиса;
5)двойственная задача линейного программирования.
Задание 1
Составить экономико-математическую модель задачи. Решить задачу симплексным методом.
1. Варианты 1-10.
Для изготовления двух видов продукции P1 и P2 используют три вида ресурсов S1, S2, S3. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых не изготовление единицы продукции, приведены в табл. 1.1.
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число ресурсов, затрачиваемых на |
|
Вид ресурса |
Запас ресурса |
изготовление единицы продукции |
||
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
P2 |
S1 |
b1 |
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
S2 |
b2 |
a21 |
|
a22 |
S3 |
b3 |
a31 |
|
a32 |
Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции P1 и P2, составляет соответственно C1 и C2 руб.
Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.
Числовые данные для вариантов 1-10 приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
|
|
|
|
|
Варианты |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
параметров |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
784 |
505 |
1870 |
428 |
1431 |
273 |
|
864 |
600 |
1095 |
840 |
6
b2 |
552 |
393 |
1455 |
672 |
1224 |
300 |
864 |
520 |
865 |
870 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 1.2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
параметров |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b3 |
567 |
348 |
1815 |
672 |
1326 |
380 |
945 |
600 |
1080 |
560 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
16 |
5 |
10 |
2 |
9 |
3 |
8 |
6 |
15 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
4 |
2 |
9 |
3 |
5 |
2 |
3 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
8 |
3 |
5 |
3 |
7 |
3 |
7 |
4 |
11 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
7 |
3 |
11 |
6 |
8 |
3 |
6 |
3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
5 |
2 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
3 |
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a32 |
9 |
3 |
15 |
8 |
16 |
5 |
9 |
4 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
4 |
7 |
7 |
3 |
3 |
4 |
2 |
6 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
6 |
4 |
9 |
8 |
2 |
5 |
3 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Варианты 11-20.
Имеется два вида корма K1 и K2, содержащие питательные вещества P1, P2, P3. Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида корма, а также необходимый минимум питательных веществ в суточном рационе животных приведены в табл.1.3.
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Необходимый |
Содержание |
||||
Питательное |
питательного |
вещества в |
||||
минимум |
питательных |
|||||
вещество |
единице корма |
|
|
|||
|
веществ |
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
K2 |
||
|
|
|
|
|||
P1 |
|
b1 |
a11 |
|
a12 |
|
P2 |
|
b2 |
a21 |
|
a22 |
|
P3 |
|
b3 |
a31 |
|
a32 |
Стоимости единицы корма K1 и K2 соответственно равны С1 и С2 руб. Составить суточный рацион кормления животных, имеющий минимальную стоимость, которая обеспечивает содержание
необходимого количества питательных веществ.
Числовые данные для вариантов 11-20 приведены в табл. 1.4.
7
Таблица 1.4
Значение |
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
параметров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
6 |
10 |
15 |
44 |
14 |
10 |
50 |
10 |
35 |
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
4 |
8 |
73 |
30 |
8 |
18 |
38 |
14 |
10 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
6 |
12 |
15 |
20 |
11 |
14 |
18 |
9 |
16 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
3 |
2 |
3 |
2 |
4 |
2 |
5 |
1 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
1 |
4 |
2 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
1 |
1 |
5 |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
1 |
1 |
7 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a32 |
3 |
3 |
3 |
1 |
2 |
4 |
4 |
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
4 |
3 |
6 |
5 |
9 |
4 |
5 |
3 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
6 |
3 |
5 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Варианты 21-30.
Производство двух видов продукции P1 и P2 должно осуществляться на трёх типах технологических линий S1, S2, S3, причём каждая продукция должна пройти обработку на каждой из линий. Нормы времени на обработку единицы продукции, а также время работы технологической линии известны и заданы в табл. 1.5.
|
|
|
Таблица 1.5 |
|
|
|
|
|
|
Технологическая |
|
Норма времени на обработку |
||
Время работы линии |
единицы продукции |
|||
линия |
||||
|
P1 |
P2 |
||
|
|
|||
S1 |
t1 |
a11 |
a12 |
|
S2 |
t2 |
a21 |
a22 |
|
S3 |
t3 |
a31 |
a32 |
Прибыль, получаемая от единицы продукции P1 и P2 составляет, соответственно С1,С2 руб.
Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.
Числовые данные для вариантов 21-30 заданы в табл.1.6.
Таблица 1.6
Знач. |
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
параметр. |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
t1 |
436 |
321 |
765 |
876 |
540 |
234 |
908 |
564 |
675 |
385 |
t2 |
672 |
520 |
747 |
393 |
444 |
393 |
630 |
300 |
600 |
870 |
8
Окончание табл. 1.6
Значение |
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
||
параметр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
||
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t3 |
672 |
600 |
812 |
450 |
546 |
348 |
700 |
380 |
650 |
560 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
2 |
6 |
2 |
4 |
4 |
5 |
5 |
3 |
7 |
8 |
|
a12 |
3 |
2 |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
|
a21 |
3 |
4 |
3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
3 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
6 |
3 |
6 |
4 |
4 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
2 |
3 |
3 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a32 |
8 |
4 |
7 |
5 |
6 |
3 |
4 |
5 |
2 |
2 |
|
c1 |
3 |
6 |
7 |
6 |
2 |
7 |
5 |
4 |
6 |
6 |
|
c2 |
8 |
3 |
5 |
5 |
4 |
4 |
6 |
5 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2
Преобразовать задачу линейного программирования из канонической формы в стандартную форму. Графическим методом найти значения неизвестных, при которых целевая функция принимает наибольшее и наименьшее значения.
Варианты заданий приведены в табл. 1.7.
|
|
|
|
Таблица 1.7 |
|
|
|
|
|
Вариан |
Задача |
Вариан |
Задача |
|
т |
|
т |
|
|
|
z = 2x1 + 8x2 + 3x3 + 4x4 , |
|
z = 2x1 + x2 − x3 − x4 , |
|
1 |
4x1 + 10x2 + x3 + 3x4 = 22, |
2 |
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 2, |
|
|
|
|
|
= 9, |
|
3x1 + 5x2 + 2x3 + x4 = 14, |
|
2x1 − 2x2 + 3x3 + 3x4 |
|
|
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. |
|
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
z = 3x1 + 2x2 − x3 + 4x4 , |
|
z = −2x1 − 2x2 + 3x3 , |
|
3 |
x1 − x2 + 2x3 + x4 = 2, |
4 |
−2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + x2 − 3x3 + x4 = 6, |
|
2x1 + 3x2 + 4x3 = 1, |
|
|
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. . |
|
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. |
|
9
|
|
z = −x1 + 2x2 − x3 + 3x4 , |
|
|
|
z = −x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 , |
|||
5 |
|
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 5, |
6 |
|
2x1 − x2 + x3 + x4 = 2, |
||||
|
|
|
+ x3 + 2x4 = 0, |
|
|
|
|
|
+ 2x3 + x4 = 6, |
|
|
− x1 + 2x2 |
|
|
|
−3x1 + x2 |
|||
|
|
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
Задача |
|
Вариант |
|
|
|
Задача |
|
|
z = 3x1 + 2x2 + x3 − x4 , |
|
|
|
z = −x1 + x2 + 2x3 − x4 , |
|||
7 |
|
x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 7, |
|
8 |
|
− x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2, |
|||
|
|
|
+ 2x3 + x4 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − x2 |
|
|
|
3x1 − 2x2 + 2x3 + 3x4 = 9, |
|||
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z = −2x1 − x2 − x3 + x4 , |
|
|
|
z = 3x1 − 2x2 − 2x3 , |
|||
9 |
|
−3x1 + 2x2 − x3 + x4 = 5, |
|
10 |
|
3x1 + x2 − 2x3 + x4 = 2, |
|||
|
|
|
+ x3 + 2x4 = 10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 3x2 |
|
|
|
4x1 + 3x2 + 2x3 = 1, |
|||
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z = x1 − 2x2 + 3x3 + x4 , |
|
|
|
z = −x1 + 2x2 − x3 + 3x4 , |
|||
11 |
|
x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 3, |
|
12 |
|
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 5, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x2 |
− x3 + 2x4 = 0, |
|
|
|
2x1 − 3x2 + 5x3 − x4 = 4, |
|
|
|
x1 |
|||
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
xi |
≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 2x1 + 3x2 − x3 − x4 , |
|
|
|
z = x1 + 2x2 + 3x3 − x4 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 |
|
x1 + x2 − 7x3 − x4 = 3, |
|
|
|
− x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 7, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 8, |
|
|
|
+ 2x3 + x4 = 1, |
|||
|
|
|
|
|
2x1 − x2 |
||||
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1,2,3,4. |
|
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z = 2x1 − x2 + 3x3 + x4 , |
|
|
|
z = −x1 − x2 − 2x3 + x4 , |
|||
15 |
|
2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 3, |
|
16 |
|
− x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 5, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x2 |
+ x3 + 2x4 = 10, |
|
|
− x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 5, |
|
|
|
x1 |
|||
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
z = 3x1 + 8x2 + 2x3 + 4x4 , |
|
|
|
z = 3x1 − 2x2 + x3 + x4 , |
|||
17 |
|
x1 + 10x2 + 4x3 + 3x4 = 22, |
|
18 |
|
3x1 − x2 + x3 + 2x4 = 3, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 5x2 + 3x3 + x4 = 14, |
|
|
|
5x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 4, |
|||
|
|
xi ≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
xi |
≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
10
|
|
z = −x1 + 3x2 + 2x3 − x4 , |
|
|
|
z = 3x1 + 2x2 − x3 − x4 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
−7x + x + x − x = 3, |
|
|
|
− x − x + 2x + 3x = 5, |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
19 |
|
− x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 8, |
20 |
|
2x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0, |
|
||||||||||||||||
|
|
xi |
≥ 0 , |
|
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
xi |
≥ 0 , i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 1.7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант |
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
|||
|
|
z = 3x1 − x2 + 2x3 + x4 , |
|
|
|
|
z = −x1 + 2x2 + x3 + 3x4 , |
|||||||||||||||
|
|
2x + x + 2x − 3x = 3, |
|
|
|
|
2x + 3x − x + x = 7, |
|||||||||||||||
21 |
|
|
1 2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
22 |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
x1 |
− 2x2 − x3 + 2x4 = 5, |
|
|
|
|
x1 |
− x2 + 2x3 + 2x4 = 1, |
|||||||||||||
|
|
xi |
≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
xi |
≥ 0 , |
|
i = 1, 2, 3, 4. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z = 4x1 + 8x2 + 3x3 + 2x4 , |
|
|
|
|
z = x1 − x2 − x3 − 2x4 , |
|||||||||||||||
|
|
3x + 10x |
|
+ x + 4x |
|
= 22, |
|
|
|
|
x + 2x |
|
− x − 3x |
|
= 5, |
|||||||
23 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
24 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
x1 |
+ 5x2 + 2x3 + 3x4 |
= 14, |
|
|
|
|
2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 10, |
|||||||||||||
|
|
xi |
≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
xi |
≥ 0 , |
|
i = 1, 2, 3, 4. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z = 4x1 + 2x2 − x3 + 3x4 , |
|
|
|
|
z = x1 − 2x2 + 3x3 + x4 , |
|||||||||||||||
|
|
x − x + 2x + x = 2, |
|
|
|
|
2x − x + 3x + x = 3, |
|||||||||||||||
25 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
x1 + x2 − 3x3 + 2x4 = 0, |
|
|
|
|
− x1 − 3x2 + 5x3 + 2x4 = 4, |
|||||||||||||||
|
|
xi |
≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
xi |
≥ 0 , |
|
i = 1, 2, 3, 4. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z = −x1 + x2 − x3 + 2x4 , |
|
|
|
|
z = −x1 + 3x2 − x3 + 2x4 , |
|||||||||||||||
|
|
x + 2x − x + x |
|
= 2, |
|
|
|
|
− x + x − 7 x + x = 3, |
|||||||||||||
27 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
28 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
3x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 = 9, |
|
|
|
|
5x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 8, |
|||||||||||||||
|
|
xi |
≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
xi |
≥ 0 , |
|
i = 1, 2, 3, 4. |
|||||||||
|
|
z = −2x2 + 3x3 − 2x4 , |
|
|
|
|
|
z = x1 − x2 + 3x3 + 2x4 , |
||||||||||||||
|
|
x + x + 3x − 2x = 2, |
|
|
|
|
−3x + x |
|
+ 2x + 2x = 3, |
|||||||||||||
29 |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
3x2 + 4x3 + 2x4 = 1, |
|
|
|
|
|
|
2x1 − 2x2 + x3 − x4 = 5, |
|||||||||||||
|
|
xi |
≥ 0 , |
i = 1, 2, 3, 4. |
|
|
|
|
|
xi |
≥ 0 , |
|
i = 1, 2, 3, 4. |
Задание 3
Решить задачу линейного программирования двумя способами: 1) графическим способом; 2) симплексным способом.
Проанализировать полученные решения. Варианты заданий приведены в табл. 1.8.