Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

TR_1_Algebra_i_analiticheskaya_geometria

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
18.04.2015
Размер:
394.26 Кб
Скачать

ТР: “АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”

Задача 1. Вычислить определитель.

Задача 2. Даны матрицы A и B . Найти матрицу C . Задача 3. Найти произведение матриц A B . Существует ли

произведение B A ? Почему?

Задача 4. Найти обратную матрицу для матрицы A . Сделать проверку. Задача 5. Решить матричное уравнение.

Задача 6. Найти ранг матрицы.

Задача 7. Решить систему линейных уравнений:

1)по формулам Крамера;

2)с помощью обратной матрицы;

3)методом Гаусса.

Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений.

Задача 9. Написать разложение вектора x по векторам p , q и r .

Задача 10-16. Условия приведены в задании.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

6

 

5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−7

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 8 6 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−4 5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = 10 −5 ,

 

 

 

 

 

 

2 16

7 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

C =B −2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 −3 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

9

 

3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

3 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =(1 −1 2 3), B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A = 3 6 2

5.

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3 4

5 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1 1

 

 

 

 

 

 

 

2x

yz= 4

 

 

 

 

 

 

 

x1 − 2x2 + 3x3 −4x4 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1−4x2+ 5x3 +7x4 = 0

 

6.

 

3 1 3 1

 

 

 

 

 

7. 3x

+ 4y − 2z = 11

8.

 

6x1−12x2+17x3 −9x4 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2y + 4z = 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+18x3+17x4= 0

 

 

0 1 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x1−14x2

9.

 

 

={−2 ;4;7},

 

 

 

 

 

={0;1;2},

 

 

 

 

 

={1;0;1} и

 

 

 

 

={−1;2;4

}

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

r

 

 

 

 

 

 

10. Вычислить проекцию вектора

 

 

 

 

={−3;1;3 } на направление вектора

 

,

 

 

 

 

AB

 

a

 

 

 

где A(7;3;−2) ; B(8;2;−2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Векторы

 

 

 

и

 

 

образуют угол в 30o,

 

=6 ,

 

 

 

 

=1. Найти длину

 

 

 

a

b

a

b

 

 

 

 

 

 

вектора

 

, если

 

=(7

 

−2

 

)×(2

 

+3

 

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

a

b

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Лежат ли точки A(5;7;−2) , B(3;1;−1) , C(9;4;−4) и D(1;5;0) в одной

 

 

 

плоскости?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

 

 

 

 

 

A(3;−4) и уравнения двух высот: 7x −2y −1=0 и 2x −7y −6 =0 .

 

 

 

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку

 

 

 

 

M(0;−2;3) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M(1;−2;3)

 

 

 

перпендикулярно к вектору

 

={9;−3;−1} и пересекает прямую

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

x +1

=

y −1

=

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −13

 

 

 

 

y −1

 

 

 

 

 

z −4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Принадлежит ли прямая

=

 

=

 

плоскости

x +2y −4z+1=0 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

62

 

−79

4

 

 

 

 

 

 

4 1 3

 

 

 

 

1 −1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

0 2

3

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0 −1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C =(3A)T B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

,

B =

2 1 0 ,

 

 

 

6 183

201

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

4

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2 1 −1

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−1 1

 

 

 

 

 

 

 

5 −1 2 1

 

2 2 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 −2

 

−1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

 

 

, B =

2 2 0 1 4. A =

2 −1 2

5. X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 −

=

 

−5 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 7 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −1 5 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 −1 3 −2 4

 

x + y +2z =−1

 

 

 

2x1 +3x2 x3 −5x4 =0

 

 

 

 

 

4x

+6x

 

 

+2x

x

 

 

=0

 

 

4 −2 5 1 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

6.

 

 

7. 2x y +2z =−4

 

 

 

8.

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2 −1 1 8 2

 

 

 

 

 

 

 

=−2

 

 

 

2x1 +3x2 −5x3 −14x4 =0

 

 

 

 

4x + y + 4z

 

 

 

10x1 +15x2 +3x3 −7x4 =0

 

9.

 

 

 

 

 

 

={6;12;−1},

 

 

={1;3;0},

 

 

={2;−1;1} и

 

 

={0;−1;2}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам

 

a =i + j +2

 

 

 

и

 

 

k

 

 

 

 

 

 

=2i + j +

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Сила

 

={2;−4;5}

 

приложена к точке A( 4;−2;3) . Определить момент

 

F

 

 

 

 

 

этой силы относительно точки B(3;2;−1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы a =7i −3 j +2

 

 

,

 

k

 

 

 

 

 

=3i −7 j +8

 

и

 

=i j +

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B( 2;−7) , а также уравнения высоты 3x + y +11=0 и медианы x +2y +7 =0 ,

проведенных из различных вершин.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;7;−5 ) и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости yOz , проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой

 

x +3

=

y −1

=

z +1

.

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

2

1

 

x + y + z −2 =0

 

16. Найти угол между прямой

и плоскостью, проходящей

 

 

 

 

 

 

 

 

2x + y z −1=0

 

через точки A( 2;3;−1) , B( 1;1; 0 ) , C(0;−2;1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−5

6 10

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−9 8 8 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−4 −1 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A = 4 3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C = A

 

 

 

 

 

 

−8 5 9 5

 

 

 

B =

2 3

 

 

,

 

+B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−11 7 7

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

1

 

−3

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 3 0 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

1 1 2

 

 

 

 

−1 2

4. A = −2 7 2 5.

X

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3 4

 

 

 

7 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

3

−4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 4 5

 

 

 

 

3x + 2y +

z = 5

 

 

 

 

14x1 + 35x2 − 7x3 − 63x4 = 0

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

z = 1

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1 2

2x + 3y +

−10x1 − 25x2 + 5x3 + 45x4 = 0

 

 

1 2

4 0

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3z = 11

 

 

 

 

 

+ 65x2 −13x3 −117x4 = 0

 

 

 

 

 

 

2x + y

 

 

 

 

 

26x1

9.

 

 

={3;1;3 },

 

={2;1;0},

 

={1;0;1} и

 

 

 

={4;2;1}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. При каком t векторы

 

 

={6;0;12 } и

 

={-8;13;t}

будут взаимно

 

 

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

 

перпендикулярны?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 3

 

 

и

 

b

a

 

 

2

 

 

, если

 

 

=3,

 

 

 

 

=4 , угол между векторами

 

и

 

равен 150o .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

a

 

a

 

b

 

 

a

b

 

12. Компланарны ли векторы

 

={12;14;−21},

 

={−9;36;8}

и

 

={9;−36;−8} ?

 

b

a

c

13. Через точку пересечения прямых 2x +5y −8 =0 и x −3y + 4 =0 провести прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;

2)параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;

4)проходит через точку (4;3) .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору a =(3; 0; 1).

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпен-

 

дикулярно к прямой

x +1

=

y

 

=

z −2

и расположенной в плоскости xOy .

2

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения

 

плоскости x −3y +2z +1=0 с прямыми

x −5

=

y +1

 

=

z −3

и

 

−2

 

 

x −3

 

y +4

 

z −5

 

 

 

 

 

5

 

 

−1

 

=

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

−6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 4

 

 

 

 

 

 

 

9

7

9

7

 

 

 

 

 

 

 

2 3 5

 

1 −2

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 6 8 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

 

 

 

 

 

C =2A +3B

 

−9

−7 9 7

 

 

 

 

, B =

,

 

 

 

 

 

 

 

−1 2 − 4

 

4 3 2

 

 

 

 

 

−8 −6

8

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 1 1

 

1 1

 

2 1 −1

3 2

−1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A = 1 0 1

 

, B = 1 3

 

4. A = 3 1 −2 5. X

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

−1

−1 1

 

 

 

 

 

0 1

−1

1 2

 

1 0 1

 

 

 

 

 

1

3

5

−1

x

+ 2y

+ 4z = 31

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−1 −3 4

 

9x1 + 21x2

−15x3 + 5x4 = 0

6.

 

 

 

 

 

+ 2z = 29 8.

 

5 1 −1 7

 

7. 5x + y

 

− 20x3 + 7x4 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

12x1 + 28x2

 

 

7

7

9

1

 

3x y + z = 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

={2; 5; -3}

 

 

 

 

9.

 

={11; 5; -3},

 

={1; 0; 2},

 

={-1; 0; 1} и

 

 

 

 

x

p

q

 

 

 

 

10. Доказать ,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.

11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).

12. При каком значении k точки А(1; 0; 3), B(-1; 3; 4), C(1; 2; 1), и D( k ; 2; 5)

лежат в одной плоскости?

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

2x y +3 =0 и 3x +5y +11=0 и через точку A(2; 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),

 

 

 

D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.

 

 

 

15. При каком значении λ прямые

x

+

2

=

y

1

=

z

 

x + y z =0

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−5z −8 =0

 

 

 

параллельны?

λ

 

 

 

 

−2 1

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и

 

 

 

пересекающей две данные прямые

x −1

=

y +3

 

=

z −5

и

 

x

=

y −2

 

=

z +1

.

2

 

 

 

 

 

5

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

8

−9

−12

 

 

 

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

4 6 −6 −9

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

,

 

C = AT BT

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

−2 1

 

B =

−3 1

 

 

 

 

 

−3

−4

6

8

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

−3

4

6

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

3 2 1

 

 

 

2

 

2

 

 

3

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

2 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A = 1

 

−1 0

 

5.

 

 

 

 

 

X

=

 

 

 

 

 

 

1 1 , B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 6

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

5 1 1

 

 

 

 

−1

 

2

 

 

 

 

 

 

0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 −1 2

 

 

 

x +5y −4z +5 = 0

 

 

 

 

 

 

x + 4x

 

+2x

 

−3x

 

=0

6.

 

2 −1 3 5

 

7.

 

−3y +z −2 = 0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2x

 

 

8. 2x1 +9x2 +5x3 +2x4 + x5 =0

 

 

1 10 −6 1

 

 

 

4x + y −3z +4 = 0

 

 

 

 

x

+3x

2

+ x

3

−2x

4

−9x

5

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

={13; 2; 7},

 

={5; 1; 0},

 

={2; -1; 3} и

 

 

={1; 0; -1}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны 60o и 90o , а длина гипотенузы равна 2. Вычислить (AB +CB ) AC.

11. Найти вектор d , зная, что он перпендикулярен векторам a ={0; -1; 2} и b ={1; 3; 3} и удовлетворяет условию d (3i j +2k ) = 8 .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10 , и уравнение одной из его диагоналей: y = x + 2 .

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1) параллельно прямой , определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).

15. При каком значении D прямая

2x y +3z +D =0

проходит через

начало

 

+3y z =0

координат?

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Найти точку , симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой

 

2x −2y +z −3 = 0

.

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

2x + y −2z +3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−5

1

 

2

 

 

 

 

2 −4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3 7 −1 4

 

 

 

4 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

3 7 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

−9 2 7

 

 

B =

 

 

 

,

 

C =2A B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1 −3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

−6

1

 

2

 

 

 

 

6 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 3 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A =

0 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 2

, B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 2 −1

 

 

1

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

2

 

−1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

X

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

−5

 

 

11

−19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 −1 2

 

 

x −2y +4z = 3

 

3x

+ 4x

 

 

+3x

 

 

+2x

 

 

=0

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

+3x

 

 

4

 

6.

 

2 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

5x +7x

2

+ 4x

3

4

=0

 

1 1 5

 

7. 2x −4y +3z =1

 

4x

1

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+5x

2

+5x

3

+3x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 10 −6 1

 

 

3x y

+5z = 2

 

 

5x

+6x

2

+7x

3

+ 4x

4

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

9. x ={2; 7; 5}, p ={1; 0; 1}, q ={1; -2; 0} и r ={0; 3; 1}

10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное

произведение векторов 3AB −2BC и CB +BA.

11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).

12. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы a =i j +k ,

b =i + j +k и c =2i +3 j + 4k ?

13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.

15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t , y = 3t, z = 2-t.

16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0), и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

9

3

6

 

 

 

 

 

 

3 1 0

 

 

0 −1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

−5 8 2 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 −1 4

 

C

=(2B)T + A

 

 

 

 

2. A =

−2 −1 4 ,

B =

,

 

 

 

4 −5 −3 −2

 

 

 

 

 

7

2

 

 

 

 

4

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

−8 −4

−5

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

3

0

 

 

 

 

4

 

−8

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

5 −1 3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A = −4 7 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

1 4

 

 

3 0 −2

 

 

 

 

−3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3 1

 

 

−8 −5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−1

 

 

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 −1 3 2 5

 

 

2x y +z = 2

 

 

 

 

x

+3x

2

+2x

3

 

=0

 

 

5

−3 2 3 4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

2x1x2 +3x3 =0

 

1 −3 −5 0 −7

 

3x +2y +2z = −2

3x

 

−5x

2

+ 4x

3

=0

 

 

7

−5 1 4 1

 

 

 

 

x −2y +z =1

 

 

 

 

 

1

 

 

+ 4x

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+17x

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

={-9; 5; 5},

 

={4; 1; 1},

 

={2; 0; -3} и

 

 

={-1; 2; 1}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0) и С(3; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине В.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение: i ×( j +k ) − j ×(i +k ) +k ×(i + j +k ) .

12. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах

a = p −3q +r , b = 2p +q −3r , c = p +2q +r , где p,q и r - взаимно

перпендикулярные орты.

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и

x – 2y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти уравнение сторон CD и AD.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1) параллельно векторам a =(−3;2;−1) и b =(1;2;3) .

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 3; 2) на плоскость 2x – y + z + 3 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 8

 

 

 

 

 

 

 

2

−5

4

3

 

 

 

3 −4 2

 

−2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 −4 7 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

6 6 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

 

,

C = A B

 

 

 

4

−9 8

5

 

 

 

7 5 1

 

−3

 

 

 

 

 

 

−3

 

2

−5

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

2 −3 7 −12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

2 , B =(3 2 1)

4. A = 4 3 −2

 

 

 

 

 

 

5. X

 

=

−4 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−4

 

 

 

−1 2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

−5

−1

 

 

 

 

 

 

0

−3

3

−3

 

1

1

0

3

 

6.

 

 

−2

2

−4

 

 

 

−2

x +3y + 4z =6 7. 2x y z =1x +2y +3z =5

x

−2x

2

+ x

3

 

+ x

4

x

5

=0

 

 

1

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

2x + x

2

3

4

+ x

5

=0

 

8.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

x

+7x

2

−5x

3

−5x

4

+5x

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 x2 −2x3 + x4 x5 =0

9. x ={-5; -5; 5}, p ={-2; 0; 1}, q ={1; 3; -1} и r ={0; 4; 1}

10. Найти координаты вектора p , коллинеарного вектору q ={3; -4; 0}, если известно, что вектор p образует с осью Ox тупой угол и p =10.

11. a ={3; 1; -1}, b ={-2; 1; 4}. Вычислить b ×(a −2i ).

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2).

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y – 15 = 0 и через точку N(1; -2).

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 5; 3) параллельно

плоскости x + 2y - 3z + 2= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. При каком значении λ прямые

x

=

y −1

=

z

и

3x + y −5z +1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

перпендикулярны?

 

 

 

 

 

λ

 

 

 

2x +3y −8z +3 = 0

 

 

y − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y − 2

 

 

 

16. Проверить, что прямые

x

=

=

 

z +1

и

 

x + 3

=

=

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

2

 

 

 

 

3

 

1

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пересекаются.

Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

−5

2

−4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

4

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

−3 4 −5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

 

 

 

 

1 2

 

,

 

 

C =3B −2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

 

,

 

B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−5

7

−7

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

−8

5

−6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3 4

 

 

6 8 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

−2

 

 

 

 

4

−5

 

 

 

 

 

4.

A =

 

2

−3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A=

 

 

 

 

 

, B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

X=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 1

 

 

 

 

 

−2 3

 

 

 

 

−2 3

 

 

1 2 −1

 

 

 

 

 

 

4

1

 

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3

4

 

 

 

 

5

 

 

 

x

+ y

+ z −3

=0

 

 

x

 

+ x

 

−3x

 

x

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 1

−1 −1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1x2 +2x3 x4 =0

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

1 3 8 13 16

 

7. 2x +3y z =0 8.

4x

 

2x

2

+

 

6x

3

+

3x

4

−4x

5

=

0

 

1 0 −7

−14 −17

 

 

 

 

x y

+3z −7 =0

 

 

 

 

1

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

2x

 

4x

 

7x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

={13; 2; 7},

 

={5; 1; 0},

 

={2; -1; 3} и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

r

={1; 0; -1}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. По координатам вершин треугольника АВС A(1; 1; -1), B(2; 4; -1) и

 

 

 

 

 

 

C(8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или

 

 

 

 

тупоугольным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a +

 

+c) ×c +(a +

 

 

+c) ×

 

+(

 

 

c) ×a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

b

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. При каком m векторы

 

 

 

,

 

= j +i +(m +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=i + j +mk

b

k

 

и c = i

j + mk

 

a

 

компланарны?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение высоты BM: x + 2y = 4 , уравнение высоты АМ: 4x + y = 6, где М - точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС и ВС.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 3; -1) и В (1; 5; 3) перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z + 15 = 0 .

15. Через точку М(2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой

x y +2z −1 = 03x +2y z +2 = 0 .

16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку М(3; -2; -4) параллельно плоскости 3x – 2y – 3z – 7=0 и пересекает прямую x 3 2 = y+24 = z 2−1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

6

3

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 5 7 2

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

7 3 1

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

T

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 4 3 5

 

 

A =

 

 

,

B =

 

 

 

,

 

C = A

 

+B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−1 0

 

 

−5 1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

6

5

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 1

 

 

 

 

1 2

 

 

2

 

−1

 

0

 

 

2 3

 

0 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

1 1

4. A = 5 3

−6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

,

5. X

 

 

 

 

−3

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

 

 

−1

−2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−1 3 −2 4

2x −4y +9z =28

 

 

 

x

+2x

2

+ 4x

3

−3x

4

=0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

=0

6.

 

4

−2 5 1 7

 

 

7x +3y −6z =−1

 

 

 

3x

+5x

2

 

+6x

3

4x

4

 

 

7.

 

 

8.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

+

5x

2

−2x

3

+3x

4

 

2

−1 1 8 2

7x +9y −9z =5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 +8x2 +24x3 −19x4 =0

9.

 

={-19; -1; 7},

 

={0; 1; 1},

 

={-2; 0; 1} и

 

 

={3; 1; 0}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Проверить будет ли треугольник АВС (A(1; 2; 3),

B(7; 10; 3),

C(-1; 3; 1))

 

 

прямоугольным?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2a +b ) ×(c a ) +(b +c )×(a +b ) .

12. Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках A(2; 2; 2), B(4; 3;3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

13. Дано уравнение 3x + 4y – 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD,

уравнение x + 12y - 12 = 0 диагонали АС и середина Е(−2;136 ) стороны ВС.

Найти уравнения сторон ВС, СD и AD.

14. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 5) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y - 2z + 1 = 0 и x + y + z –5 = 0 .

15. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую x 4−5 = y 3−2 = z+21 .

16. При каком значении λ плоскость 5x – 3y + λ z + 1 = 0 будет параллельна

x −4z −1

= 0

?

прямой

= 0

y −3z +2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

−3

−5

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2 1 −5

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3 2 4 −6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

3 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

−5

−7 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

C =2B A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3 −2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−4

3

5

−6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 2

 

−2

 

−10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A = 2 1 −2

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

 

, B =

 

 

 

 

 

 

 

−1 3

X =

 

1

 

−7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 1 1 3

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

−1 −3

 

 

x

+y +z −3 = 0

 

 

 

2x

−4x

 

 

+5x

 

+

3x

 

=0

 

6.

 

2

 

 

−1 3 0

 

7.

 

+y −2z −1= 0 8.

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

3x1 −6x2 + 4x3 +2x4 =0

 

 

 

4 5

−5 −6

 

 

 

x +y −3z +1= 0

 

 

4x

−8x

2

+17x

3

+11x

4

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

={3; -3; 4},

 

 

 

={1; 0; 2},

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

={0; 1; 1} и r

={2; -1; 4}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти работу силы f

={4; -1; 1} на перемещении

s

={5; 3; -2}.

 

 

 

 

 

 

 

11. Вычислить координаты вектора

 

 

, перпендикулярного векторам

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 j

 

и

 

= −i +2 j −3

 

 

и образующего тупой угол с осью Oy , если

 

 

 

 

 

 

k

b

k

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

= 7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Доказать, что точки A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) лежат в

 

 

 

 

одной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: AB: 3x + 4y - 12 = 0,

 

 

 

 

 

 

AD: 5x - 12y - 6 = 0 и середина Е(-2; 1) стороны BC. Найти уравнения двух

 

 

 

 

других сторон параллелограмма.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

 

 

 

 

 

M 1 (1; 2; 0),

 

 

M 2 (2; 1; 1),

 

M 3 (3; 0; 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. Через точку А(0; -2; 1) провести прямую так, чтобы она пересекала две

 

 

 

 

 

 

данные прямые

x +1

=

y −1

=

z

 

и

x

=

y +2

 

=

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Найти расстояние от точки А(2; 3; -1)

до прямой

 

2x −2y +z +

3 = 0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

+2z +17 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x −2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

−4 2 −1

 

 

 

0 −2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

9 −8 5 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, C

=(2A)T B

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

−1 0 −2 ,

B =

5 1 3

 

 

 

 

5

 

−8

5

8

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 0

 

 

 

 

 

2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

−5

4

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 1

 

 

1 1

 

−1

 

 

2 1 1

 

 

 

 

 

3 4 5 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A = 2 1 2 , B = 2 −1 1

4. A =

0 2 1

 

5. X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3

 

 

 

 

 

 

3 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 5 −1

 

 

2x

+2y +2z = 6

 

 

 

 

 

3x

+5x

 

 

 

+2x

 

 

=0

 

 

 

2

−1

−3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1+7x2 +5x3 =0

 

6.

 

5 1

−1 7

 

 

7.

x

+2y +3z =1

 

 

 

 

8.

 

x

+ x

2

 

−4x

3

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 7 9 1

 

 

 

 

x +3y +6z

= 2

 

 

 

 

 

 

2x

+9x

2

+6x

3

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

={8; 0; 5},

 

={2; 0; 1},

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

={1; 1; 0} и r

={4; 1; 2}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти скалярное произведение векторов

 

= 2

 

 

и q = 2

 

+

 

, если

 

 

 

b

b

 

p

a

a

 

 

 

 

 

 

 

= −i +3 j −7

 

и

 

= 2i j +5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

b

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах (a +3b ) и (3a +b ) , если a = b =1, а угол между векторамиa и b равен 30o .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы a = 2i + j −3k ,

b = i −4 j +k , c = 3i −2 j +2k ?

13. Даны вершины треугольника А(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2). Составить уравнение высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС.

14. Плоскость проходит через ось Oz и составляет с плоскостью

2x + y -

5 z = 0 угол

π

. Найти её уравнение.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4x +z −1= 0

 

3x +y z +4 =

0

 

15. Пересекаются или нет прямые

и

?

 

 

y +2z −8 = 0

 

 

 

 

 

x −2y +3 = 0

 

 

 

 

16. Найти проекцию точки М(0; 1; 2) на прямую x2−1 = y1 = z0+1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

−1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−4

3

 

 

 

 

−7 1

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 −1 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

2 1 , B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 1

−2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 2

 

, C = 3A +B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

1

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 0

 

 

−3 2

3. A = (5 1 0 −3), B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A =

4 5 1

 

X =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

2 3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

−5 2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 6

−7 4 2

 

 

 

2x

−4y +z =3

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2 +5x3 +7x4 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

4 3

−8 2 7

 

7.

 

−5y +3z = −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

8. 4x1 −2x2 +7x3 +5x4 = 0

 

 

4 3 1 2 −5

 

 

 

 

x

y +z =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2 + x3 −5x4 = 0

 

 

 

8

6

−1 4 −6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

={3; 1; 8},

 

={0; 1; 3},

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

={2; 0; -1}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

={1; 2; -1} и r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти угол между векторами

 

+

 

и

 

 

 

 

, если

 

 

 

=3i j +2

 

 

 

и

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

k

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

= i + j

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

={2; -1; 5} и

 

= {2; 3; 6} как на сторонах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Проверить, компланарны ли векторы

 

= 2i + j −3

 

,

 

 

=i −4 j +

 

,

 

 

 

 

 

k

b

k

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

=3i −2 j +2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Найти проекцию точки М(1; 1) на прямую

 

x −2

=

y +1,5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oy и проходящей через точки А(-1; 2; 1) и В(3; 0; 2).

15. Проверить, пересекаются ли прямые x2−1 = y 1−7 = z 4 5 и

x 3− 6 = y+21 = z1 .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x2−1 = y3 = z+14 , перпендикулярно плоскости 3x + y – 2z + 5 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 14

 

 

 

 

 

 

1

−1

2

 

1

 

 

−2 3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4 −1 0

 

 

 

 

 

 

7 1 0

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 3 1

 

2. A =

 

,

B =

, C=2A-3B

 

 

 

−1 2

−5

 

 

 

 

−3 2 1

 

 

 

 

−5

0

1

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 1

 

 

 

3 1

 

 

 

3

−4

5

 

5 4

 

8 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, B =

2 1

 

4. A =

2 −3 1

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

5. X

 

=

 

 

 

 

 

 

3 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

−5

 

 

 

 

3 2

 

−1 −2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

 

 

3

 

−1

 

 

 

 

 

3

1

1

4

 

 

x y +z = 6

 

3x1 +2x2 + x3 +3x4 +5x5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

0 4 10 1

7.

 

+z = 3

 

 

 

 

 

+4x2 +3x3 +5x4 +7x5 = 0

 

1

7 17

3

 

2x +y

 

8. 6x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+6x2 +5x3 +7x4 +9x5 = 0

 

 

2

2

4

3

 

 

x +y +2z = 5

 

9x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

={8; 1; 12},

 

={1; 2; -1},

 

={3; 0; 2} и

 

 

 

 

 

 

x

p

q

r

={-1; 1; 1}

 

 

 

10. Даны векторы a = mi +3 j +4k и b = 4i +mj −7k . При каком m векторы

a и b перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2; 2; 2), B(4; 0; 3) и C(0; 1; 0).

12. Проверить будут ли компланарны векторы a = (1;6;5) , b = (3;−2;4) и c = (7;−18;2) ?

13. Найти точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой x1−1 = y +11,5 .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и точку

M(2; -1; 3).

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; 2), B(-2; 3; -1), C(3; -2; 4). Составить уравнение медианы из вершины В на сторону АС.

16. Через прямую x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t – 2 провести плоскость параллельную прямой x1 = y 3−2 = z2+1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

3

1

2

 

 

 

 

 

−2

1

 

 

 

7

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

−5 8 2

7

 

 

 

 

 

 

5 −7

 

B

=

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

C =2AT BT

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

 

,

 

−2 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

−2

−2

0

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

−1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3

 

 

 

 

1 1 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 −8

 

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A =

 

−4 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

−2 3 1

, B =

2 3 −2 3

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2 4

 

 

 

 

1 5 −2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3 5 1

 

 

 

 

 

 

2

1

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

6

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

−4 3 −3 5

2x + y +z =6

 

 

 

 

5x +

6x

 

 

 

−2x

 

 

+7x

 

 

+ 4x

 

=0

6.

 

1

−2 1 5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

5

 

 

 

7. x y +z =5

 

8.

2x1 +3x2 x3 + 4x4 +2x5 =0

 

 

1

−2 4 −34 0

 

x + y +2z =4

 

 

 

 

 

5x +9x

2

−3x

3

+ x

4

 

+6x

5

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

={-9; -8; -3},

 

={1; 4; 1},

 

={-3; 2; 0} и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

 

r

={1; -1; 2}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти скалярное произведение векторов

 

=

 

−2

 

и

 

= 2

 

+

 

, если

 

 

 

b

b

 

p

a

q

a

 

a = 2i −5 j −7k , b = 5i +2 j −5k .

11. Найти вектор c , зная, что он перпендикулярен векторам a =(2;3;−1) и

b =(1;−2;3) и удовлетворяет условию c (2i j +k ) = −6 .

12. Заданы точки А(1; 2; -2), B(3; 2; -1) , C(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найти объем тетраэдра АBCD.

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а также уравнения высоты x – 2y + 1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0, проведенных из одной вершины.

14. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание М(1; 2; 4). Найти уравнение плоскости.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; -5; 3) и

образует с осями координат углы, соответственно равные 600 , 450 , 1200 . 16. Найдите точку В, симметричную точке А(2; 0; 1) относительно прямой

x3+1 = y1 = z2−1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4 −3 2

 

 

6 1 −2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

2 2 1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 3

 

 

4 3 2

 

C = A E +BT

 

 

 

 

 

 

2. A =

,

B =

,

 

 

 

3

 

1

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 7

−3

 

 

−8 −3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2 7

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1 1

 

−3 5

 

 

 

 

 

2

 

 

−1

−14 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. A =

3 9 4 5. X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

 

 

 

 

 

 

 

, B =

3

−5

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 1 −2

 

 

 

 

1 5

 

3

 

 

 

−5 3

1 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

1

−1

x + y +z −1=0

 

 

3x +

4x

 

+ x

 

 

+2x

 

+3x

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

5

6.

 

3 1 4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. x +2y +3z −2 =0

 

5x1 +7x2 + x3 +3x4 + 4x5 =0

 

 

1

 

2

3

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2x3 + x4

+5x5 =0

 

 

1

−4

−7

 

 

 

x +3y +6z −1=0

 

 

4x1 +5x2

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

={-5; 9; -13},

 

 

 

={0; 1; -2},

 

 

 

 

={4; 1; 0}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

p

q

={3; -1; 1} и r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Векторы

 

и

 

образуют угол

π

. Найти длину вектора

 

−2

 

, если

 

 

 

b

 

b

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=2 ,

 

 

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах (a +3b ) и (3a +b ) , если a = b =1, а угол между векторами a и b равен 30o .

12. Компланарны ли векторы a ={3;7;2}, b ={−2;0;−1}, c ={2;2;1} ?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x – 4y + 5 = 0, уравнение высоты АМ: x + 2y – 10 = 0 и высоты BN: 2x – 3y + 4 = 0. Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 1 = 0 и x + 5y – z +2 = 0 провести плоскость, проходящую через точку M(1; 1; 1).

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 0; 3) на прямую x3+1 = y2−1 = z1 .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

x1−1 = y 2+1 = z +2 2 и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y – z = 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

−1

2

 

 

 

 

 

 

 

3

−1

 

 

 

 

−2 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 2 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. A =

6 8 , B =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

C = A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

−1 1

 

 

 

 

 

 

−7 1

 

 

 

 

 

 

 

 

2B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

−2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 1

 

 

 

2

 

 

 

 

1 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

−3

 

 

 

 

 

7

−4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A =

1 2 1

, B =

−1

4. A = 2 3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

−6 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 1 4

 

 

 

 

x −2z −4 = 0

 

 

 

 

 

 

 

3x +

4x

 

 

−5x

 

 

+7x

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

6.

 

2 4 10 1

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

2x1−3x2 +3x3 −2x4 =0

 

 

1 7 17 3

 

2y +z −3 = 0

 

 

 

 

 

4x +11x

2

−13x

3

+16x

4

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x z = 6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7x −2x

2

+ x

3

+3x

4

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

={3; 1; 0}, q ={-1; 2; 1}

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

={3; 3; -1},

 

 

 

 

 

 

 

={-1; 0; 2}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

и r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти при каком t

векторы

 

=

 

 

 

+ t

b

 

и

 

 

=

 

 

t

b

 

 

будут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

a

q

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

взаимно перпендикулярны, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6i

 

+ 2j − 3k ,

b

 

 

= 3i

− 4k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = {2;−1;5} и b = {2;3;6} как на сторонах.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1; 3; 6), B(2; 2; 1), C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3).

13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом 45o

к прямой x – 2y + 3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям: 2x – y + 5z + 3 = 0 и x + 3y – z – 7 = 0.

15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями (x1,y1,0) и (x2,0,z2 ) . Вычислить координаты точки пересечения этой же

прямой с третьей координатной плоскостью.

16. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(1; 0; -1) на прямую x 1+1 = y 2−1 = z3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 18

 

 

 

 

 

 

1

1

3

2

 

 

 

4

1 −3

 

 

−7 8 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

2

−3 1 2

 

 

 

2

0 5

 

,

 

 

, C= 3A B

 

 

 

 

2. A =

 

B =

0 3 0

 

 

 

2

2

4

4

 

 

 

0

−4 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

1

5

3

 

 

 

 

 

 

−2 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

2 1 1

 

3

 

2

1

 

6 1 −2

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. A = 2 1

 

 

 

 

 

4. A = 1 −2 1

 

 

 

 

 

, B =

 

 

5. X

 

=

−6

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0 1

 

 

 

2

 

 

−4 −2 −28

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

1

2

3

 

2

−3

1

 

6.

1

9

8

 

 

1

−12

−7

 

−2

 

−4

 

 

 

−2

 

7.

 

 

−2

 

 

 

 

2x y + z =4 x +3y −2z =−3 3x +2y z =3

 

x −2x

2

+ x

3

x

4

+ x

5

=0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

2x + x

2

 

x

3

 

+2x

4

−3x

5

 

8.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

3x −2x

2

x

3

+ x

4

−2x

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x3

−2x4 +2x5 =0

2x1 −5x2

9. x ={2; -1; 11}, p ={1; 1; 0}, q ={0; 1; -2} и r ={1; 0; 3}

10. Заданы точки A(-2; 4; 0), B(1; 3; -5), C(0; -1; 1) и вектор a = 3i +10 j −5k .

Вычислить скалярное произведение векторов 2AB −3AC и a +2AC . 11. Найти орт e , перпендикулярный векторам a = {1;−1;0} и b = {2;1;−1} . 12. Заданы векторы a = {−3;3;3} , b = {2;1;1} и c = {19;11;17} . Какую тройку

(левую или правую) образуют векторы a , b и с ?

13. Даны две вершины треугольника А(5; -2) и B(-4; 1); его высоты пересекаются в точке N(3; 2). Найти координаты третьей вершины С.

14. Через точку M(-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось x , другая - ось y . Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

3y +2 = 0

15. Указать особенность в расположении прямой

x −3y +2z +1= 0

16. Найти точку В, симметричную точке А(1; 2; 0) относительно плоскости

2x – 3y + 5z = 5.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]