lim |
f (x) |
= 0 ; |
||||
g(x) |
|
|||||
x→x0 |
|
|||||
3) если A ≠ 0 , B = 0 , то |
f (x) |
|
||||
lim |
|
= ∞ ; |
||||
|
g(x) |
|
||||
x→x0 |
|
|||||
4) если A = 0 , B = 0 , то
|
|
lim |
f (x) |
= |
|
0 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→x0 |
g(x) |
0 |
|
|
|
||||||||
Решение задачи 1а |
|
|
||||||||||||
|
(2x2 −3x − 2)2 |
0 |
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||
x |
3 |
− 2x |
2 |
− 4x |
+8 |
0 |
||||||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Для раскрытия неопределенности разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
1) Чтобы разложить многочлен 2x2 −3x − 2 на множители,
найдем корни уравнения 2x2 −3x − 2 = 0 : |
|
|
|||
x |
|
= 3 ± 9 |
+16 = 3 ± 5 = 2 |
. |
|
1, 2 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
− 0, 5 |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
||
(2x2 −3x − 2)2 = (2 (x − 2)(x + 0, 5))2 = (x − 2)2 (2x +1)2 . |
|||||
2) Чтобы |
разложить |
многочлен |
x3 − 2x2 − 4x +8 на |
||
множители, сгруппируем его первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
x3 − 2x2 − 4x +8 = x2 (x − 2)− 4(x − 2)= (x − 2)(x2 − 4)= = (x − 2)(x − 2)(x + 2)= (x − 2)2 (x + 2).
Таким образом,
6
|
|
(2x2 − 3x − 2)2 |
|
0 |
= lim |
|
(x − 2)2 (2x +1)2 |
= |
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||
x |
3 |
− 2x |
2 |
− 4x +8 |
|
2 |
||||||||||
x→2 |
|
|
|
0 |
x→2 |
|
(x − 2) (x + 2) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
= lim |
(2x +1)2 |
= |
25 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→2 |
x + 2 |
4 |
|
|
|||||||
Решение задачи 1б
3 |
x + 6 − 2 |
|
0 |
|
б) lim |
x − 2 |
= |
0 |
. |
x→2 |
|
|
Для раскрытия неопределенности дополним числитель выражения, стоящего под знаком предела, до разности кубов. Для этого умножим и разделим дробь на
3 (x + 6)2 + 2 3 x + 6 + 4 :
|
3 |
x + 6 − 2 |
|
|
0 |
|
= |
|
||||
|
lim |
x − 2 |
= |
0 |
|
|
||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
( x + 6 − 2) (x + 6) + 2 x + 6 + |
||||||||||||
= lim |
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
(x + |
+ |
2 |
|
|
|
||||||
x→2 (x − 2) |
6) |
|
|
x + 6 + 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
(x + 6)−8 |
|
|
|
|
= |
||||
3 |
(x + |
2 |
+ |
2 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
x→2 (x − 2) |
6) |
|
|
x + 6 + 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
(x + |
2 |
+ |
2 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
x→2 (x − 2) |
6) |
|
|
x + 6 + 4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7