Задача 2
Определить порядок функций f1 (x) и f2 (x)относительно x , предварительно установив, являются ли они в точке x0 бесконечно малыми или бесконечно большими. Сравнить функции f1 (x) и f2 (x). Выделить главную часть.
а) |
f1( x) = arctg2 (4 3 x + x2 + x3 ) , |
б) |
f2 (x) = 3 1 + sin x −1 , x0 = 0 . |
|
Справочный материал |
Определение 1
Пусть α(x) и β(x) - б. м. функции в точке x0 . α(x) называется бесконечно малой порядка k ( k > 0 ) относительно β(x), если
lim |
α(x) |
= c , |
|
||
k |
|
||||
x→x0 |
(β(x)) |
|
|||
|
|
|
|
||
где c - конечное число, отличное от нуля. |
|
||||
Обозначается: α(x) |
~ |
c (β(x))k . |
|
||
x→x0 |
|
|
|
|
|
Определение 2 |
|
|
|
|
|
Главной частью бесконечно малой функции f (x) в конечной |
|||||
|
|
|
|||
точке x0 называется простейшая б. м. вида c(x − x0 )k |
( c ≠ 0 ), |
||||
эквивалентная f (x) при |
x → x0 , где k - порядок б. |
м. f (x) |
|||
относительно б. м. (x − x0 ).
Определение 3
Главной частью бесконечно малой функции f (x) в бесконечно удаленной точке называется простейшая б. м. вида
15