7.4. СлучайныЕ событиЯ и их виды

Все возможные взаимно исключающие исходы опыта называются простейшими исходами или элементарными исходами.

Полная совокупность элементарных исходов называется пространством элементарных исходов.

Пространство элементарных исходов обозначается греческой буквой

 – омега большое.

Один элементарный исход – маленькой буквой

 – омега маленькое.

Рассмотрим примеры пространств элементарных исходов.

Пример 1. Игральная кость (кубик).

.

Пример 2. Трёхкратное бросание монеты. О – орел, Р – решка.

.

Самостоятельно определите число элементарных исходов в этом примере.

Пример 3. Число преступлений, совершённых в городе за сутки.

Число элементарных исходов не ограничено.

Случайное событие всегда можно рассматривать как исход некоторого опыта.

Обычно событием называют какое-либо подмножество пространства .

В общем случае это подмножество состоит из нескольких элементарных исходов.

Пример. Событие заключается в том, что в городе за сутки произойдёт не более 10-ти преступлений.

Достоверным событием называется событие, которое всегда осуществляется в условиях данного опыта.

Достоверное событие обычно обозначается , т.к. совпадает с пространством элементарных исходов.

Невозможным событием называется событие, которое никогда не осуществляется в условиях данного опыта.

Обычно обозначается значком пустого множества, т.е. .

Равными событиями называются события, состоящие из одинаковых элементарных исходов.

Пример. При двукратном бросании монеты события, состоящие в том, что «число «орлов» чётно» и «число «орлов» больше одного», равны.

Событие С называется противоположным событию А, если оно состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Для того, чтобы сказанное было нагляднее, приведём следующий пример.

Пусть у нас стрельба по мишени. Событие А – попадание не хуже чем на 8 очков, т.е. в чёрное. Противоположное событие – попадание в белое.

Изобразим это в виде рисунка.

Квадрат – это все возможные точки попадания. Окружность – середина мишени.

Попадание в каждую точку мишени – элементарный исход .

Поэтому квадрат – это пространство элементарных исходов .

Каждое событие – совокупность элементарных исходов, поэтому можем изображать событие в виде некоторой геометрической фигуры, потому что геометрическая фигура это совокупность точек.

Ω

A

C



Обозначается противоположное событие, как .

Событие В называется независимым по отношению к событию А, если возможность появления в опыте события В не зависит от того, произошло событие А или нет.

Примеры.

1) При многократных бросаниях монеты исходы бросаний независимы.

2) При вытаскивании из колоды одной карты событие «Эта карта – король» и событие «Эта карта – буби» – независимы по отношению друг к другу.

3) При последовательном вытаскивании двух карт из колоды возможность события «Вторым вытащен король» будет зависеть от того, произошло событие «Первым вытащен король» или нет (если первым вытащен король, то королей в колоде становится меньше, и возможность повторного вытаскивания уменьшается. А событие «Первым вытащен король» будет независимым от события «Вторым вытащен король».

В дальнейшем все рассматриваемые события будем считать независимыми.

7.5. Действия со случайными событиями

Событие С называется произведением событий А и В, если оно состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые входят в А и В одновременно.

A

B

C

Ω

Обозначается как .

Широко используется также и другое обозначение: .

Оно заимствовано из теории множеств. Это вполне уместно, т.к. здесь событие рассматривается как множество исходов.

Однако для простоты мы будем использовать алгебраический значок умножить, а не значок объединения множеств.

Событие С называется суммой событий А и В, если оно состоит из тех элементарных исходов, которые входят либо в А, либо в В, либо в А и В одновременно.

Графический пример.

A

B

C

Ω

Обозначается как .

Широко используется также и другое обозначение: .

Но мы, по-прежнему, будем использовать знак плюс. И это не знак арифметического сложения!

Событие С называется разностью событий А и В, если оно состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые одновременно входят в А и не входят в В.

A

B

C

Ω

Обозначается как .

В теории множеств для разности используется и другое обозначение: С = A \ B .

Но мы будем использовать знак минус.

Этот знак минус не означает арифметическую разность, т.к. из не следует, что.

Знак плюс также не означает арифметическую сумму, т.е. из не следует, что.

Знак умножить также не является арифметическим произведением, т.к. обратным к нему должно было бы быть действие деления, а оно для событий вообще не определено.

Исходя из определения разности событий А и В можно записать, что

=

Самостоятельно убедится в справедливости следующих тождеств, рассмотрев области событий:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

События А и В называются несовместными, если ни один из элементарных исходов, входящих в А, не входит в В, и наоборот.

Иными словами, наступление одного из них исключает наступление другого, т.е. .

Изобразить несовместные события можно так

A

B

Ω

7.6. классическое определение вероятности

Мы помним, что вероятность – это численная мера возможности

Под словами «определение вероятности» мы будем понимать не формулировку, что это такое, а способ установления этой численной меры.

Мы уже рассмотрели статистический способ определения вероятности, т.е. через частоту. Он прост и понятен.

Но определять вероятность, проводя многократные опыты, крайне неудобно.

Поэтому рассмотрим другие подходы к определению вероятности.

Первым рассмотрим классическое определение вероятности.

Этот способ состоит из трёх положений.

1. Пространство элементарных исходов  состоит из N равновозможных элементарных исходов.

.

N – конечное число (это обязательное условие).

2. Вероятность любого i-того элементарного исхода определяется просто как:

.

Ещё раз подчеркнём: исходы равновозможны, следовательно, равновероятны.

3. Вероятность любого события A определяется как

,

где k – число элементарных исходов, из которых состоит событие А.

Чисто внешне последняя формула похожа на формулу для частоты, но в знаменателе – не число опытов, а общее число элементарных исходов.

При таком подходе для определения вероятности нет необходимости в проведении многочисленных опытов.

Достаточно подсчитать число благоприятных исходов и разделить на их общее число.

Так для ровной, непогнутой монеты можно сразу сказать, что вероятность выпадения орла равна 1/2.

А вероятность вытащить короля бубей из полной колоды равна 1/52.