Пример 4.

Определить медиану числа рабочих.

Таблица 8

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот
200 — 300	3	3
300 — 400	7	10 (3+7)
400 — 500	30	40 (10+30)
Итого	40

В данном примере накопленная частота, равная половине всех частот - 20, соответствует медианному интервалу 400 – 500 чел., в котором находится медиана.

Известно, что:

Отсюда,

чел.

Значения признака, делящие ряд на четыре равные части называются квартилями, на пять частей – квинтилями, на десять частей – децилями, на сто частей – процентилями.

Различие между средней величиной () и структурными средними заключается в том, что величины структурных средних не зависят от значений признака на краях ранжированного ряда.

4. На графике откладываются: среднее значение варьирующего признака, мода и медиана. На основе соотношения , М_о, М_е дается подтверждение или опровержение предварительного вывода о характере симметрии или асимметрии относительно оси.

Если соотношение имеет вид М_о М_е , то следует сделать вывод о правосторонней асимметрии.

Если же соотношение обратное М_е М_о, то делается вывод о левосторонней асимметрии в данном ряду. При несоответствии полученных значений ни одному из неравенств от вывода воздерживаются.

Далее рассчитываются показатели вариации:

5. Рассчитываются абсолютные показатели вариации: размах вариации R, сумма квадратов отклонений.

Размах (амплитуда) вариации – разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности:

R = x_max - x_min.

Сумма квадратов отклонений:

.

6. Рассчитываются средние показатели вариации, которые отражают среднее отклонение каждой варианты варьирующего признака от его типичной (средней) величины: среднее линейное отклонение а, среднее квадратическое отклонение , дисперсия .

Размах вариации и сумма квадратов отклонений показывают лишь максимальное различие значений признака, но не могут измерять вариацию внутри совокупности.

Среднее отклонение значений признака от средней арифметической величины может решить эту проблему, однако по известному свойству оно равно нулю. Чтобы избежать этого в среднем линейном отклонении используется модуль отклонений, а в среднеквадратическом отклонении – квадрат отклонений.

Среднее линейное отклонение:

.

Среднее квадратическое отклонение:

.

Дисперсия:

.

Абсолютные и средние показатели вариации измеряются в тех же единицах измерения, как и сам варьирующий признак.

7. Рассчитываются относительные показатели вариации, которые отражают степень неравномерности распределения варьирующего признака внутри совокупности. Т.е. указывают на сколько процентов в среднем величины отдельных значений варьирующего признака отклоняются от их средней величины: относительный размах вариации , относительное линейное отклонение m, относительное квадратическое отклонение (коэффициент вариации) V.

Относительные показатели рассчитываются как отношения абсолютных показателей силы вариации к средней арифметической величине признака.

Относительный размах вариации:

.

Относительное линейное отклонение:

.

Относительное квадратическое отклонение (коэффициент вариации):

На основании результатов расчета коэффициента вариации делается вывод о степени неравномерности распределения варьирующего признака внутри совокупности.

Если V < 10 % - вариация слабая, следовательно распределение равномерное или однородное;

при 10 % < V < 25 % - вариация умеренная;

при 25 % < V < 40 % - вариация сильная;

если V > 40 % - вариация очень сильная, т.е. распределение неравномерное или разнородное.

Пример 5.

Вычислить показатели вариации по двум совокупностям, сравнить.

Таблица 9

Совокупность	Значение х 1	Значение х 2
Первая	24	26
Вторая	49	1

Обе совокупности состоят из двух единиц, суммарное значение признака в обеих совокупностях равно 50, средняя величина также одинакова:

.

Однако внутри совокупности вариация разная:

R₁ = 26 – 24 = 2 R₂ = 49 – 1 = 48

Сумма квадратов отклонений₁ = (24 – 25)² + (26 – 25)² = 2

Сумма квадратов отклонений₂ = (49 – 25)² + (1 – 25)² = 1 152

а₁ = (|24 – 25| + |26 - 25|) / 2 = 1 а₂ = (|49 – 25| + |1 - 25|) / 2 = 24

Сравнивая все полученные показатели, очевидно, что вариация в первой совокупности очень слабая, а во второй – очень сильная.

Однако, оценка степени интенсивности вариации на основании этих показателей возможна только для каждого отдельного признака. При этом в одном случае, когда V = 10 % вариация считается слабой (урожайность картофеля), в других случаях – очень высокая (рост людей).

8. Относительные показатели, рассчитанные по разночисленным совокупностям тяжело сравнивать между собой, поскольку коэффициенты изменяются в различных границах. Так при сильнейшей вариации в трех разночисленных совокупностях, где 95% признака сосредоточено у одной единицы, в совокупности из двух единиц коэффициент вариации равен 0,9 (или 90 %), из десяти единиц – 2,1 (210 %), из ста – 9,45 (945 %). Конечно, сопоставлять эти показатели между собой не имеет смысла. Для этой цели необходимо использовать нормированные показатели вариации: нормированное относительное линейное отклонение а_норм, нормированный коэффициент вариации V_норм. Эти показатели рассчитываются как отношение фактических относительных показателей к их максимально возможной величине.

Нормированное относительное линейное отклонение:

.

Нормированное относительное квадратическое отклонение (коэффициент вариации):

Продолжение контрольной работы №1.

По данным о распределении предприятий региона по товарообороту (табл. 5.10.) определите:

- средний объем товарооборота;

- моду;

- медиану.

По всем расчетам сделать выводы. Данные каждого расчета оформить в виде таблиц.

Таблица 5.10.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн.руб.	Число предприятий
до 400	9
400 — 500	12
500 — 600	8
600 — 700	9
свыше 700	2
ИТОГО	40

10