1.4. Кристаллографическое направление и атомные плоскости.

При детальном анализе кристаллической структуре материала часто возникает необходимость задавать то или иное направление в кристалле. Выделять отдельные узлы кристаллической решетки, а также целые атомные плоскости.

Для этого, прежде всего, необходимо выбрать систему координат в кристалле.

Обычно оси системы координат направляют вдоль ребер элементарной ячейки А, В, С.

Втаком случае на рисунки 2 каждому узлы кристаллической решетки будет соответствовать свой радиус векторr

r=ma+nb+pcгдеm,n, р – целые числа.

z

с r

rby

а

x

Рис 2

Этот вектор задает конкретное направление в кристалле. В данном случае числа m,n,pназываются индексами кристаллографического направления и помещают их в квадратные скобки [m,n,p]. Те же числаm,n,pзаключенные в двойные скобки означают координаты конкретного угла, в который упирается соответствующий радиус вектора [[m,n,p]]. Если числаm,n,pполучаются отрицательными, то знак минус ставится над соответствующей цифрой. Для примера укажем координаты некоторых узлов и индексы некоторых направлений

.

z[[0 0 3 ]]

[ 0 2 1] [ 0 1 1 ] [[ 0 3 1 ]]

[[0 1 0 ]]

y

в эту точку мысленно смещаем систему

координат и определяем координаты точки

Рис 3

x

[ 1 1 0 ]

[[ 0 0 2 ]]

Положение атомной пластины в кристалле определяется по длине отрезка ОА, ОВ, ОС которые она отсекает на координатных осяхx,y,z

Длину этих отрезков указывают в единицах периода С кристаллической решетки a,b,c(все буквы малые)

ОА = ma= 1/а

В ОВ = nb= 1/bh,k,l.

yОС =pc= 1/c

A затем находятся числа обратные m, n, p. Эти числа

x приводятся к общему знаменателю, который затем

отбрасывается, в результате остаются числители h, k, l которые и являются индексами атомной плоскости. Эти индексы заключают в круглые скобки и обычно называют индексами Миллера. Если атомные плоскости не пересекают хоть одну из осей координат, то для нее соответствующей индекс равен 0. Если индексы плоскости получаются отрицательные, то знак минус ставят над цифрой.

Для примера укажем индексы некоторых плоскостей.

z

COA= 2a= 1/2 = 3/6 = 3

OB= 3b= 1/3 = 2/6 = 2

у этой плоскости OC= 2c= 1/2 = 3/6 = 3

индексы (3 2 3)

В

y

Рис 5

A

x

z

индекс (0 0 1) индекс (1 1 1)

y

(0 1 0) или (0 1 0) х (0 2 0) ( 0 3 0)

Рис 6

(0 1 0)

или (0 1 0)

(0 1 0), (0 2 0), (0 3 0), (0, 1 0) и т. д . это по сути одна и та же плоскость. Это зависит от того, где будет находиться система координат.

Если кристалл кубический то плоскости (0 1 0), (0 0 1), (1 0 0) являются эквивалентными, то есть одни и те же, так как тут кубическая симметрия. Совокупность физически эквивалентных плоскостей называют семейством плоскостей. Индексы Миллера этого семейства плоскостей помещают в фигурные скобки {0 0 1}, {1 0 0}.