Обработка результатов наблюдений методом наименьших квадратов
Обработка исходных данных методом наименьших квадратов позволяет установить более точную эмпирическую формулу.
Нормативная линия, полученная методом наименьших квадратов, соответствует условию, что сумма квадратов расстояний от точек до нормативной линии будет наименьшей, то есть:
.
(15)
Вывод эмпирической формулы с применением метода наименьших квадратов производится аналитическим путем.
Если между нормативной величиной и фактором предполагается наличие линейной зависимости вида у = ах+b,
где: а – постоянный коэффициент,
х – значение фактора,
b – свободный член,
то по точкам могут быть найдены значения а и b решением следующей системы уравнений:
по одному фактору
(16)
,
где N – количество наблюдений (точек на графике).
Для решения приведенной системы уравнений составляется расчетная таблица по следующей форме:
Таблица 4
Расчетная таблица для выявления нормативной зависимости по одному фактору
|
№ п/п |
у |
х |
х2 |
ху |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
N |
у |
х |
х2 |
ху |
по двум факторам
(17)
Для решения данной системы уравнений составляется расчетная таблица по следующей форме:
Таблица 5
Расчетная таблица для выявления нормативной зависимости по двум факторам
|
№ п/п |
х1 |
х2 |
у |
х12 |
х2 2 |
х1х2 |
х1у |
х2у |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
N |
х1 |
х2 |
у |
х12 |
х2 2 |
(х1х2) |
(х1у) |
(х2у) |
Итоговые данные таблиц 4,5, подставляются в соответствующие системы уравнений, решение которых даст возможность получить числовые значения нормативов.
В практике нормирования встречаются степенные зависимости вида у=bха. В этом случае для нахождения значений постоянного коэффициента и показателя степени (а) данную формулу следует прологарифмировать, в результате чего получается линейная зависимость:
.
(18)
Значения а и b могут быть с помощью решения следующей системы уравнений:
(19)
Расчетная таблица составляется по форме, приведенной в таблице 8.
Примеры решения задач по теме 1
Задача 1. Установить нормативную зависимость вспомогательного времени на установку деталей в слесарные тиски и снятие их при весе деталей от деталей Q = 0,5-5 кг.
Решение:
1. Определяются факторы, оказывающие влияние на затраты времени при выполнении работы. В рассматриваемом задании на затраты времени при установке и снятии деталей оказывает влияние вес деталей.
2. Для выявления зависимости времени от веса деталей принимается следующее число значений фактора:
.
Таким образом, необходимо провести хронометражные наблюдения на рабочем месте и установить фактические затраты на времени на установку и снятие детали не менее, чем при 6 значениях фактора (веса детали).
3. Определяются конкретные числовые значения фактора, при которых необходимо провести наблюдения:
.
Следовательно, конкретные значения фактора, при которых необходимо производить хронометражные наблюдения, равны:
Q1 = 0,5 кг
Q2 = 0,5 + 0,9 = 1,4 1,5 кг
Q 3 = 1,4 + 0,9 = 2,3 2,5 кг
Q 4 = 2,3 +0,9 = 3,2 3,0 кг
Q 5 = 3,2 + 0,9 = 4,1 4,0 кг
Q 6 = 4,1 + 0,9 = 5,0 кг.
4. Проводятся хронометражные исследования трудовых процессов. Результаты хронометражных исследований рассматриваемой операции «Установка деталей в слесарные тиски и снятие их» приведены в таблице 6.
Таблица 6
Результаты хронометражных наблюдений
|
Вес деталей( Q ), кг
|
0,5 |
1,5 |
2,5 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
|
Время выполнения при рассматриваемом значении Q (t), мин |
0,18 |
0,20 |
0,25 |
0,27 |
0,28 |
0,32 |
5. Обработка исходных материалов и вывод нормативной зависимости
- По исходным данным в прямоугольной системе координат в выбранном масштабе строится график (рис.1). По оси абсцисс откладываются значения веса деталей, по оси ординат – числовые значения времени.
- Рассчитываются
среднеарифметические значения фактора
(
)
и времени выполнения элемента трудового
процесса (
),
т.е.
= ( 0,5+
1,5+2,5+3,0+4,0+5,0)/6=2,75,
=(0,18+0,20+0,25+0,27+0,28+0,32)/6=0,25.
Следовательно, нормативная линия проход через точку с координатами (2,75;0,25).
- Определяется угол наклона нормативной линии к положительному направлению оси абсцисс ( ):
=
(0,5+1,5+2,5)/3 =1,5;
=
(3,0+4,0+5,0)/3= 4.
=
(0,18+0,20+0,25)/3=0,21;
=
(0,27+,28+0,32)/3=0,29.
.
Отрезок прямой, равный 10 мм на оси ординат выражает 0,1 мин времени, а на оси абсцисс – 1 кг веса деталей, следовательно, коэффициент К, учитывающий разность масштабов равен: 1,0/0,1 =10.
Следовательно, угол = 0,032*10 =tg 0,32 17,74 .
- Строим нормативную
линию. Для проверки соответствия
построенной линии условию
складываем измеренные по оси ординат
отклонения каждой точки от линии:
.
Рис.1 График нормативной зависимости операции «Установка деталей в слесарные тиски и снятие их»
Таким образом, нормативная линия соответствует условию ее построения.
- Отрезок на оси ординат от ее начала до точки пересечения с нормативной линией равен 0,1636 мин.
- Уравнение нормативной линии в рассматриваемом примере:
у=0,032х +0,1636,
где: у(t) – продолжительность выполнения операции при заданных параметрах веса детали, мин;
х (Q) – вес детали, кг.
Пользуясь этой формулой, можно найти нормативные значения времени для любого независимого переменного в пределах исследуемого диапазона.
Например, при весе детали 2,2 кг: t=0,032*2,2+0,1636= 0,234 мин.
Правильность формулы подтверждается сопоставлением результатов, получаемых по формуле и непосредственно взятых из графика.
Задача 2. Определить нормативную зависимость нормы штучного времени на сварку 1 пог.м шва в зависимости от толщины свариваемого материала методом наименьших квадратов. Толщина свариваемого материала (S) находится в пределах от 6 до 24 мм.
При проведении хронометражных наблюдений были получены данные, приведенные в таблице 7.
Таблица 7
Результаты хронометражных наблюдений
|
S, мм |
6 |
8,5 |
12 |
17 |
24 |
|
Тшт, мин |
11.8 |
13,5 |
17,8 |
30 |
60 |
Решение:
Наносим точки, соответствующие полученным данным на график с равномерными шкалами (рис. 2).
Данная зависимость выражается кривой линией вида гиперболы, следовательно, искомая зависимость является степенной и имеет вид:
Тшт= Ст*Sх, (20)
где: Тшт – штучное время, мин;
Ст – постоянный коэффициент;
S – толщина свариваемого материала;
х- показатель степени при S.
Рис.2. График операции «Электродуговая сварка»
После логарифмирования получаем:
.
(21)
Данные наблюдений и другие расчетные данные, необходимые для вывода эмпирической формулы по методу наименьших квадратов, сведены в таблицу 8.
Таблица 8
|
S, мм |
|
Т шт, мин |
|
|
|
|
6 |
0,7782 |
11,8 |
1,0719 |
0,6055 |
0,8341 |
|
8,5 |
0,9294 |
13,5 |
1,1303 |
0,8638 |
1,0506 |
|
12 |
1,0792 |
17,8 |
1,2504 |
1,1646 |
1,3494 |
|
17 |
1,2304 |
30 |
1,4771 |
1,5140 |
1,8175 |
|
24 |
1,3802 |
60 |
1,7782 |
1,9050 |
2,4542 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5,3974 |
|
= 6,7079 |
= 6,0530 |
= 7,5058 |
Решаем систему уравнений:
-
1,1328
Cт
= 0,0907
lg Cm=0,0907/1,1328=0,080067
Ст=1,2025
30,2648*0,080067+х*32,67=40,6027
2,4232+х*32,67=40,6027
x= (40,6027 – 2,4232)/32,67=1,1686
Искомая формула получит вид: Тшт = 1,2025*S1,1686.