Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

подпоследовательности

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
160.39 Кб
Скачать

1.9. Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы

1.9.1. Частичный предел.

Определение 1.9.1. Пусть задана некоторая последовательность {xn}, и

n1 < n2 < · · · < nk < . . .

есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность

xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .

называется подпоследовательностью последовательности {xn}.

Пример 1.9.1. Пусть задана последовательность

1, 12, 13, . . . , n1 , . . .

Запишем некоторые ее подпоследовательности:

a) 1,

1

,

1

, . . . ,

 

 

1

 

, . . .

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n − 1

б)

1

,

 

1

,

 

1

, . . . ,

 

1

, . . .

2

4

8

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

1

,

 

1

 

,

 

1

, . . . ,

1

, . . .

5

10

 

15

5n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n1 = 1, n2 = 3, . . . , nk = 2k − 1, . . . ); n1 = 2, n2 = 4, . . . , nk = 2k, . . . ;

(n1 = 5, n2 = 10, . . . , nk = 5k, . . . ).

Но последовательность

1, 13, 12, 14, . . . , n1 , . . .

уже не является подпоследовательностью последовательности 1, 12, . . . , n1 , . . . .

Теорема 1.9.1 (принцип Больцано-Вейерштрасса (для последовательностей)).

Каждая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть E множество значений ограниченной последовательности {xn}. Это множество может быть конечным. (Например, множество значений последовательности {(−1)n} состоит всего из двух чисел: −1, +1.) Тогда существуют, по крайней мере, одна точка x E и последовательность

n1 < n2 < . . .

номеров, таких что

xn1 = xn2 = · · · = x.

Полученная подпоследовательность {xnk } постоянна и, значит, сходится.

Пусть теперь множество E бесконечно. Тогда по принципу Больцано-Вейер- штрасса (теорема 1.5.3) оно обладает, по крайней мере, одной предельной точкой x.

Поскольку x предельная точка E, можно выбрать n1 N так, что |xn1 − x| < 1;

n2 N (n1 < n2) так, что |xn2 − x| <

1

; . . . ; nk N

(nk−1 < nk) так, что |xnk − x| <

2

 

1

; . . . Ясно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

lim xnk = x.

k→∞

2

– 33 –

Определение 1.9.2. Будем писать

n

+

n→∞ n

= +

x

 

lim x

 

и говорить, что последовательность {xn} стремится к плюс бесконечности, если

для каждого числа c найдется номер N N, такой что xn > c при любом n > N.

 

 

Аналогично даются определения для

случая x

 

,

x

 

→ ∞

.

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n → −∞

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Пример 1.9.2. Последовательность

{

2

 

}

стремится к +

, последовательность

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{−

(2)

 

}

стремится

к

−∞

, последовательность

( 2)

n

}

стремится к

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ −

 

 

 

 

 

 

 

Последовательность

{n(−1)

n

}

не стремится ни к +∞, ни к −∞, ни просто к

 

бесконечности, но является неограниченной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.9.2. Верхний и нижний пределы. Пусть задана последовательность {xk}.

Построим

новую последовательность

{

a

 

 

,

a

inf x ,

предполагая,

что

{

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n}

 

n =

k>n k

 

 

 

 

 

 

 

k}

ограничена снизу. Ясно, что {an} возрастает и, следовательно,

nlim→∞ an

есть либо

конечное число, либо символ +∞.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 1.9.3. Число l (или символ +∞) называется нижним пределом

последовательности {xk}, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l = lim a

lim inf x

 

 

или lim a

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

n

= n→∞ k>n

k

 

n→∞

n = +∞

 

 

 

 

 

 

 

Для последовательности {xk}, неограниченной снизу, полагаем, что нижний предел равен −∞. Нижний предел обозначается символом

lim xk.

k→∞

Аналогично, рассматривая последовательность bn = sup xk, определяем верхний

k>n

предел

lim xk

k→∞

последовательности {xk}.

Приведем примеры.

Пример 1.9.3. Для последовательности xk = (−1)k

 

 

lim x

 

 

 

 

 

 

inf

 

 

 

k

 

 

lim (

1) =

1,

 

 

k→∞

k

= nlim k>n (−1)

 

 

= n

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

1)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

klim

x

 

 

 

sup (

= nlim 1 = 1

.

 

 

 

 

 

 

k

 

= nlim >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

→∞ k

n

 

 

 

 

 

 

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.9.4. Для последовательности xk = −k2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

k2

 

 

=

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

k→∞

2

 

−∞

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

lim

k

= lim sup

 

 

 

lim

 

 

 

n

=

 

.

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

−∞

k→∞

 

 

 

 

 

n→∞ k>n

 

 

 

= n→∞

 

 

 

 

 

 

Пример 1.9.5. Для последовательности xk

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

= lim inf

1

= lim 0 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k→∞ k

n→∞ k>n k

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

= lim sup

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

= lim

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k→∞ k

n→∞ k>n

 

k

 

n→∞ n

 

 

 

 

 

 

 

– 34 –

Упражнение 1.9.1. Найти верхний и нижний пределы последовательности

k(−1)k .

Определение 1.9.4. Число (или символ +∞ или −∞) называют частичным

пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, сходящаяся к этому числу (или символу +∞, −∞).

Теорема 1.9.2. Нижний и верхний пределы последовательности являются, соответственно, наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов. (При этом считаются принятыми естественные соотношения −∞ < x < +∞ между символами −∞, +∞ и числами x R.)

Доказательство. Проведем его для нижнего предела и для случая, когда последовательность ограничена. Пусть

lim xk = a

k→∞

(a конечное число, так как {xk} ограниченная последовательность). Сначала покажем, что a частичный предел.

Пусть an = inf xk. Тогда для любого n N, используя определение нижней грани,

k>n

подберем числа kn N так, что an 6 xkn 6 an +

1

 

и kn < kn+1. Переходя в последнем

 

 

n

неравенстве к пределу при n → ∞, получим, что nlim xkn = a, и мы доказали, что a

частичный предел последовательности {xk}.

 

 

→∞

 

 

 

 

 

 

 

Это наименьший частичный

предел, поскольку для любого ε > 0 найдется

n N, такое, что a − ε < an

< a + ε (это вытекает

из

определения предела

последовательности

{

a

). Но a

inf x

и a

ε < a

6 x

при k > n, т.е. все

 

n}

n

= k>n k

 

n

 

k

элементы последовательности {xk} (за исключением может быть конечного числа элементов x1, x2, . . . , xn−1) больше числа a − ε. Это означает, что любой частичный предел нашей последовательности l > a − ε. В силу произвольности ε > 0, l > a. 2

Несколько удлинив рассуждения, можно доказать теорему 1.9.2 и для случая, когда последовательность неограничена.

Следствие 1.9.1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают.

Доказательство. Приведем его для случая, когда все пределы конечны. Пусть

lim xk = lim xk = A R.

k→∞ k→∞

Поскольку

an = inf xk 6 xn 6 sup xk = bn,

k>n

k>n

 

т.е. an 6 xn 6 bn. Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, получим,

что lim xn = A.

n→∞

Пусть теперь lim xk = A. Тогда любая подпоследовательность {xkn } сходится к

k→∞

тому же числу A, т.е. все частичные пределы равны A, откуда и следует, что

lim xk = lim xk = A.

k→∞ k→∞

2

– 35 –

Следствие 1.9.2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность.

Доказательство. Пусть сходится любая подпоследовательность {xkn } последовательности {xk}. Тогда сходится и сама последовательность {xk}, так

как она одновременно является и подпоследовательностью.

Пусть теперь сходится последовательность {xk}. Возьмем любую подпоследовательность {xkn }. Нижний и верхний пределы подпоследовательности {xkn } заключены между нижним и верхним пределами последовательности {xk}. Но

эти последние пределы совпадают, значит, совпадают нижний и верхний пределы

подпоследовательности, что обеспечивает сходимость {xkn }.

2

– 36 –