подпоследовательности
.pdf1.9. Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы
1.9.1. Частичный предел.
Определение 1.9.1. Пусть задана некоторая последовательность {xn}, и
n1 < n2 < · · · < nk < . . .
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность
xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .
называется подпоследовательностью последовательности {xn}.
Пример 1.9.1. Пусть задана последовательность
1, 12, 13, . . . , n1 , . . .
Запишем некоторые ее подпоследовательности:
a) 1, |
1 |
, |
1 |
, . . . , |
|
|
1 |
|
, . . . |
||||||||
3 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n − 1 |
|||||||||
б) |
1 |
, |
|
1 |
, |
|
1 |
, . . . , |
|
1 |
, . . . |
||||||
2 |
4 |
8 |
|
2n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
1 |
, |
|
1 |
|
, |
|
1 |
, . . . , |
1 |
, . . . |
||||||
5 |
10 |
|
15 |
5n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n1 = 1, n2 = 3, . . . , nk = 2k − 1, . . . ); n1 = 2, n2 = 4, . . . , nk = 2k, . . . ;
(n1 = 5, n2 = 10, . . . , nk = 5k, . . . ).
Но последовательность
1, 13, 12, 14, . . . , n1 , . . .
уже не является подпоследовательностью последовательности 1, 12, . . . , n1 , . . . .
Теорема 1.9.1 (принцип Больцано-Вейерштрасса (для последовательностей)).
Каждая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть E множество значений ограниченной последовательности {xn}. Это множество может быть конечным. (Например, множество значений последовательности {(−1)n} состоит всего из двух чисел: −1, +1.) Тогда существуют, по крайней мере, одна точка x E и последовательность
n1 < n2 < . . .
номеров, таких что
xn1 = xn2 = · · · = x.
Полученная подпоследовательность {xnk } постоянна и, значит, сходится.
Пусть теперь множество E бесконечно. Тогда по принципу Больцано-Вейер- штрасса (теорема 1.5.3) оно обладает, по крайней мере, одной предельной точкой x.
Поскольку x предельная точка E, можно выбрать n1 N так, что |xn1 − x| < 1; |
|||||
n2 N (n1 < n2) так, что |xn2 − x| < |
1 |
; . . . ; nk N |
(nk−1 < nk) так, что |xnk − x| < |
||
2 |
|||||
|
1 |
; . . . Ясно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
lim xnk = x.
k→∞
2
– 33 –
Определение 1.9.2. Будем писать
n → |
+ |
∞ |
n→∞ n |
= + |
∞ |
x |
|
lim x |
|
и говорить, что последовательность {xn} стремится к плюс бесконечности, если
для каждого числа c найдется номер N N, такой что xn > c при любом n > N. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Аналогично даются определения для |
случая x |
|
, |
x |
|
→ ∞ |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n |
|
n → −∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 1.9.2. Последовательность |
{ |
2 |
|
} |
стремится к + |
∞ |
, последовательность |
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
{− |
(2) |
|
} |
стремится |
к |
−∞ |
, последовательность |
( 2) |
n |
} |
стремится к |
|
∞ |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Последовательность |
{n(−1) |
n |
} |
не стремится ни к +∞, ни к −∞, ни просто к |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
бесконечности, но является неограниченной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1.9.2. Верхний и нижний пределы. Пусть задана последовательность {xk}. |
||||||||||||||||||||||||||
Построим |
новую последовательность |
{ |
a |
|
|
, |
a |
inf x , |
предполагая, |
что |
{ |
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n} |
|
n = |
k>n k |
|
|
|
|
|
|
|
k} |
||||||
ограничена снизу. Ясно, что {an} возрастает и, следовательно, |
nlim→∞ an |
есть либо |
|||||||||||||||||||||||||
конечное число, либо символ +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Определение 1.9.3. Число l (или символ +∞) называется нижним пределом |
||||||||||||||||||||||||||
последовательности {xk}, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l = lim a |
lim inf x |
|
|
или lim a |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
= n→∞ k>n |
k |
|
n→∞ |
n = +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Для последовательности {xk}, неограниченной снизу, полагаем, что нижний предел равен −∞. Нижний предел обозначается символом
lim xk.
k→∞
Аналогично, рассматривая последовательность bn = sup xk, определяем верхний
k>n
предел
lim xk
k→∞
последовательности {xk}.
Приведем примеры.
Пример 1.9.3. Для последовательности xk = (−1)k
|
|
lim x |
|
|
|
|
|
|
inf |
|
|
|
k |
|
|
lim ( |
− |
1) = |
− |
1, |
|
|||||||||||||
|
k→∞ |
k |
= nlim k>n (−1) |
|
|
= n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
klim |
x |
|
|
|
sup ( |
− |
= nlim 1 = 1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
= nlim > |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
→∞ k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 1.9.4. Для последовательности xk = −k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
k2 |
|
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k→∞ − |
2 |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
lim |
− |
k |
= lim sup |
|
|
|
lim |
|
|
|
n |
= |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
||||||||||||||||||||||||
k→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ k>n |
− |
|
|
|
= n→∞ |
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 1.9.5. Для последовательности xk |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
= lim inf |
1 |
= lim 0 = 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k→∞ k |
n→∞ k>n k |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= lim sup |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
= lim |
= 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k→∞ k |
n→∞ k>n |
|
k |
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
– 34 –
Упражнение 1.9.1. Найти верхний и нижний пределы последовательности
k(−1)k .
Определение 1.9.4. Число (или символ +∞ или −∞) называют частичным
пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, сходящаяся к этому числу (или символу +∞, −∞).
Теорема 1.9.2. Нижний и верхний пределы последовательности являются, соответственно, наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов. (При этом считаются принятыми естественные соотношения −∞ < x < +∞ между символами −∞, +∞ и числами x R.)
Доказательство. Проведем его для нижнего предела и для случая, когда последовательность ограничена. Пусть
lim xk = a
k→∞
(a конечное число, так как {xk} ограниченная последовательность). Сначала покажем, что a частичный предел.
Пусть an = inf xk. Тогда для любого n N, используя определение нижней грани,
k>n
подберем числа kn N так, что an 6 xkn 6 an + |
1 |
|
и kn < kn+1. Переходя в последнем |
|||||||
|
|
|||||||||
n |
||||||||||
неравенстве к пределу при n → ∞, получим, что nlim xkn = a, и мы доказали, что a |
||||||||||
частичный предел последовательности {xk}. |
|
|
→∞ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Это наименьший частичный |
предел, поскольку для любого ε > 0 найдется |
|||||||||
n N, такое, что a − ε < an |
< a + ε (это вытекает |
из |
определения предела |
|||||||
последовательности |
{ |
a |
). Но a |
inf x |
и a |
− |
ε < a |
6 x |
при k > n, т.е. все |
|
|
n} |
n |
= k>n k |
|
n |
|
k |
элементы последовательности {xk} (за исключением может быть конечного числа элементов x1, x2, . . . , xn−1) больше числа a − ε. Это означает, что любой частичный предел нашей последовательности l > a − ε. В силу произвольности ε > 0, l > a. 2
Несколько удлинив рассуждения, можно доказать теорему 1.9.2 и для случая, когда последовательность неограничена.
Следствие 1.9.1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают.
Доказательство. Приведем его для случая, когда все пределы конечны. Пусть
lim xk = lim xk = A R.
k→∞ k→∞
Поскольку
an = inf xk 6 xn 6 sup xk = bn, |
|
k>n |
k>n |
|
т.е. an 6 xn 6 bn. Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, получим,
что lim xn = A.
n→∞
Пусть теперь lim xk = A. Тогда любая подпоследовательность {xkn } сходится к
k→∞
тому же числу A, т.е. все частичные пределы равны A, откуда и следует, что
lim xk = lim xk = A.
k→∞ k→∞
2
– 35 –
Следствие 1.9.2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность.
Доказательство. Пусть сходится любая подпоследовательность {xkn } последовательности {xk}. Тогда сходится и сама последовательность {xk}, так
как она одновременно является и подпоследовательностью.
Пусть теперь сходится последовательность {xk}. Возьмем любую подпоследовательность {xkn }. Нижний и верхний пределы подпоследовательности {xkn } заключены между нижним и верхним пределами последовательности {xk}. Но
эти последние пределы совпадают, значит, совпадают нижний и верхний пределы
подпоследовательности, что обеспечивает сходимость {xkn }. |
2 |
– 36 –